Студенты и волшебная шкатулка

Условие:

Решение:

Данная задача представляет собой математическую головоломку, включающую функциональное уравнение. Условия задачи следующие: "Вася и Петя нашли волшебную шкатулку. Если в нее положить деньги и сказать «Ахалай Махалай», то сумма, лежащая в шкатулке увеличится в полтора раза. Один недостаток: работает только раз! Петя и Вася решили поступить так: каждый положит в шкатулку сколько хочет, потом они скажут «Ахалай Махалай» и поделят всю сумму поровну. 1) Представьте эту игру как ИСЧ. 2) Найдите функции наилучших ответов игроков. 3) Найдите все РН." Для решения данной задачи предположим, что Вася кладет сумму \( x \) в шкатулку, а Петя кладет сумму \( y \). Общая сумма в шкатулке будет \( x + y \), а после произнесения волшебных слов она увеличится в 1.5 раза, становясь \( 1.5(x + y) \). Затем они делят её поровну, поэтому каждый из них получит \( \frac{1.5(x + y)}{2} \). Теперь рассмотрим ИСЧ (игры с неполной информацией), где каждый игрок выбирает свой ход, не зная выбор второго игрока. Функция наилучшего ответа для каждого игрока показывает, сколько ему выгодно вложить, зная сумму другого игрока. Рассмотрим выгоду Васи, если Петя положит сумму \( y \): Вася положит сумму \( x \), и его итоговое вознаграждение будет \( \frac{1.5(x + y)}{2} - x \). Для Пети аналогичная функция выгоды будет: \( \frac{1.5(x + y)}{2} - y \). Чтобы найти равновесие Нэша (РН), необходимо решить систему уравнений нахождения оптимальных \( x \) и \( y \), при которых оба игрока максимизируют свою выгоду, учитывая действия друг друга. Так как игроки делят выгоду поровну, для них не будет разницы, сколько каждый вложил, пока общая сумма максимальна. Поэтому каждый игрок может положить любую сумму, и это будет равновесием Нэша, при условии, что суммы равны или игроки договорились о пропорциональном делении. Таким образом, равновесие Нэша в такой игре не единственно и зависит от предварительной договоренности между игроками. Если предположить, что они не договорились, то наилучшим ответом для каждого будет положить всё, что у него есть, т.к. после увеличения и деления суммы каждый получит больше, чем положил.