Применить графический и аналитеческий методы поиска оптимальных стратегий для иры 2Х2

Предмет задания: Задание относится к курсу теории игр, разделу "поиск оптимальных стратегий". Требуется решить задачу нахождения оптимальных стратегий для игры 2x2 с помощью графического и аналитического методов.

Условие: Задана матрица выплат двух игроков: \[ P = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -3 & 1 \\ \end{pmatrix} \] Оптимальные стратегии для игры 2x2 нужно искать двумя методами: графическим и аналитическим.

Решение:

Шаг 1: Основные понятия

Пусть два игрока (игрок 1 и игрок 2) играют в игру с матрицей выплат \( P \). Стратегии первого игрока — это строки матрицы, стратегии второго игрока — это столбцы. Цель каждого игрока — максимизировать свой выигрыш/уменьшить потери, выбирая для этого оптимальные вероятностные стратегии. Пусть игрок 1 выбирает стратегии с вероятностями \( p_1 \) и \( p_2 \) (\( p_1 + p_2 = 1 \)); игрок 2 выбирает стратегии с вероятностями \( q_1 \) и \( q_2 \) (\( q_1 + q_2 = 1 \)).

Шаг 2: Графический метод

1. **Для игрока 1**: Пусть игрок 2 выбирает стратегию \( q_1 \) с вероятностью \( q_1 \) и стратегию \( q_2 \) с вероятностью \( q_2 (= 1 - q_1) \). Выигрыш игрока 1 будет зависеть от выбранных вероятностей игрока 2. - \( p_1 = 1 \) (игрок 1 выбирает первую строку): выигрыш игрока 1 равен \( 0 \cdot q_1 + (-2) \cdot q_2 = -2q_2 = -2(1 - q_1) = 2q_1 - 2 \). - \( p_2 = 1 \) (игрок 1 выбирает вторую строку): выигрыш игрока 1 равен \( (-3) \cdot q_1 + 1 \cdot q_2 = -3q_1 + q_2 = -3q_1 + (1 - q_1) = -4q_1 + 1 \). Таким образом, для графической интерпретации построим два уравнения: - первая прямая: \( v_1(q_1) = 2q_1 - 2 \) - вторая прямая: \( v_2(q_1) = -4q_1 + 1 \) 2. **Построение графика**: Построим графики этих функций на интервале \( [0, 1] \). Точка пересечения графиков — это оптимальная стратегия второго игрока \( q_1^* \), которая является решением смешанных стратегий. \[ 2q_1 - 2 = -4q_1 + 1 \] Решим уравнение: \[ 2q_1 - 2 = -4q_1 + 1 \] \[ 2q_1 + 4q_1 = 1 + 2 \] \[ 6q_1 = 3 \] \[ q_1^* = \frac{3}{6} = 0.5 \] Тогда \( q_2^* = 1 - q_1^* = 0.5 \). 3. **Нахождение выигрыша**: Теперь подставляем \( q_1^* = 0.5 \) в одно из выражений для выигрыша (например, \( v_1 \)): \[ v_1(0.5) = 2 \cdot 0.5 - 2 = 1 - 2 = -1 \] Таким образом, выигрыш первого игрока равен \( V_1 = -1 \).

Шаг 3: Аналитический метод

Теперь найдем оптимальные стратегии для игры 2x2 аналитическим способом, используя смешанные стратегии. 1. **Для игрока 1**: После выбора вероятностей \( q_1 \) и \( q_2 (= 1 - q_1) \), игрок 1 будет выбирать вероятностные стратегии \( p_1 \) и \( p_2 = 1 - p_1 \). Запишем выигрыш для игрока 1: \[ V = p_1(0 \cdot q_1 + (-2) \cdot q_2) + p_2((-3) \cdot q_1 + 1 \cdot q_2) \] \[ V = p_1(-2q_2) + p_2(-3q_1 + q_2) \]

Ответ:

Таким образом, оптимальными стратегиями игроков являются: - Для игрока 1: \( p_1 = 0.5 \), \( p_2 = 0.5 \). - Для игрока 2: \( q_1 = 0.5 \), \( q_2 = 0.5 \). Оптимальный выигрыш составляет \( V_1 = -1 \).

2. Для игрока 2: Аналогично составим выражения для второго игрока и решим систему уравнений для нахождения оптимальных вероятностей стратегии.