По графической интерпретации оптимальной стратегии игрока A определить платежную матрицу

Предмет: Математика
Раздел: Теория игр, матричные игры, оптимальные стратегии

Задача: По графической интерпретации оптимальной стратегии игрока A определить платежную матрицу.

Анализ:

Игрок A выбирает между двумя стратегиями ( A_1 ) и ( A_2 ), а игрок B выбирает между двумя стратегиями ( B_1 ) и ( B2 ). Платежная матрица ( P ) для игрока A — это матрица 2x2, где элемент ( p{ij} ) — выигрыш игрока A при выборе стратегии ( A_i ) и ( B_j ).

График показывает зависимость ожидаемого выигрыша игрока A от вероятности выбора стратегии ( A_1 ) (ось x от 0 до 1).

• Пересечение линий на графике соответствует точке смешанной стратегии, где игрок A выбирает оптимальную стратегию с вероятностью ( x ).
• Значения на оси y — значения выигрыша для стратегий ( A_1 ) и ( A_2 ) при разных вероятностях.

Шаг 1: Разберём график

• При ( x = 0 ) (игрок A выбирает стратегию ( A_2 ) с вероятностью 1), выигрыши равны значениям на правой вертикальной оси.
• При ( x = 1 ) (игрок A выбирает стратегию ( A_1 ) с вероятностью 1), выигрыши равны значениям на левой вертикальной оси.

Из графика:

• Значение выигрыша для ( A_1 ) при ( x=0 ) равно 0.
• Значение выигрыша для ( A_2 ) при ( x=0 ) равно 1.
• Значение выигрыша для ( A_1 ) при ( x=1 ) равно 1.
• Значение выигрыша для ( A_2 ) при ( x=1 ) равно 0.

Шаг 2: Определим платежную матрицу

Обозначим платежи:

[ P = \begin{pmatrix} p{11} & p{12} \ p{21} & p{22} \end{pmatrix} ]

Где:

• ( p_{11} ) — выигрыш при ( A_1, B_1 )
• ( p_{12} ) — выигрыш при ( A_1, B_2 )
• ( p_{21} ) — выигрыш при ( A_2, B_1 )
• ( p_{22} ) — выигрыш при ( A_2, B_2 )

Шаг 3: Используем график для определения платежей

На графике для стратегии ( A_1 ) линия убывает от 1 (при ( x=1 )) до 0 (при ( x=0 )) — это значит:

[ \text{Ожидаемый выигрыш при выборе } A1 = p{11} q + p_{12} (1-q) ]

где ( q ) — вероятность выбора игроком B стратегии ( B_1 ).

Линия для ( A_1 ) — это линейная функция, убывающая от 1 до 0, значит:

[ p{11} = 1, \quad p{12} = 0 ]

Аналогично для ( A_2 ) линия возрастает от 0 (при ( x=1 )) до 1 (при ( x=0 )):

[ p{21} = 0, \quad p{22} = 1 ]

Шаг 4: Сравним с вариантами

Ни один из предложенных вариантов не совпадает с матрицей

[ \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix} ]

но нам нужно проверить, какая из предложенных матриц соответствует графику.

Шаг 5: Проверим варианты

Для варианта 2:

[ P = \begin{pmatrix} 3 & 6 \ 2 & 1 \end{pmatrix} ]

Проверим линии:

• Для ( A_1 ), при ( q=1 ) (игрок B выбирает ( B_1 )):

[ E(A_1) = 3 ]

• При ( q=0 ):

[ E(A_1) = 6 ]

Линия не убывает от 1 до 0, а растёт от 3 до 6, не соответствует графику.

Для варианта 4:

[ P = \begin{pmatrix} 3 & -5 \ -3 & -1 \end{pmatrix} ]

При ( q=1 ):

[ E(A_1) = 3 ]

При ( q=0 ):

[ E(A_1) = -5 ]

Линия убывает, что соответствует графику ( A_1 ).

Для ( A_2 ):

При ( q=1 ):

[ E(A_2) = -3 ]

При ( q=0 ):

[ E(A_2) = -1 ]

Линия возрастает, что соответствует графику ( A_2 ).

Вывод:

Вариант 4 соответствует графику, где линия для ( A_1 ) убывает, а для ( A_2 ) возрастает.

Ответ:

4 (вариант b)

Если нужна дополнительная проверка или пояснения — обращайтесь!