Нужно определить при каких значениях x в матрице есть седловые точки

Предмет: Математика
Раздел: Теория игр, матричные игры, седловые точки

Дана матрица игры

 A = \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \ 5 & 2 & 0 \ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} 

Нужно определить при каких значениях x в матрице есть седловые точки.

Определение седловой точки:
Седловая точка — это элемент матрицы, который является минимумом в своей строке и максимумом в своём столбце.

Шаг 1. Найдем минимумы по строкам:

• 1-я строка: элементы x, 1, 2
  Минимум зависит от x:

• если x \leq 1, минимум — x

• если x > 1, минимум — 1

• 2-я строка: элементы 5, 2, 0
  Минимум — 0

• 3-я строка: элементы 3, 3, 0
  Минимум — 0

Шаг 2. Найдем максимумы по столбцам:

• 1-й столбец: x, 5, 3
  Максимум зависит от x:

• если x \geq 5, максимум — x

• если x < 5, максимум — 5

• 2-й столбец: 1, 2, 3
  Максимум — 3

• 3-й столбец: 2, 0, 0
  Максимум — 2

Шаг 3. Проверим каждый кандидат на седловую точку:

• Рассмотрим минимум 1-й строки:

1. Если x \leq 1, минимум в строке — x.
   Проверим, является ли x максимумом в первом столбце:
   Максимум в первом столбце — либо x (если x \geq 5), либо 5 (если x < 5).
   При x \leq 1 максимум в столбце — 5, а минимум строки — x \leq 1, значит x не максимум столбца.
   Значит, седловой точки в первом столбце при x \leq 1 нет.

2. Если x > 1, минимум строки — 1 (элемент 1,2).
   Проверим, является ли 1 максимумом в столбце 2: максимум столбца 2 — 3.
   1 < 3, значит не максимум, седловой точки нет.

• Рассмотрим минимум 2-й строки — это 0 (в третьем столбце).
  Проверим, является ли 0 максимумом в третьем столбце: максимальное значение в третьем столбце — 2.
  0 < 2, значит не седловая точка.

• Рассмотрим минимум 3-й строки — 0 (в третьем столбце).
  Проверка аналогична — 0 < 2, не седловая точка.

Вывод:
Седловых точек в матрице нет при любых значениях x.

Ответ:
 \text{при любых значениях } x \text{ седловых точек нет}  — вариант (c).