Нужно определить при каких значениях x в данной матрице есть седловые точки

Предмет: Математика
Раздел: Теория игр, матричные игры, седловая точка

Дана матрица

 \begin{pmatrix} x & 1 & 2 \ 5 & 2 & 0 \ 3 & 3 & 0 \end{pmatrix} 

Нужно определить при каких значениях x в данной матрице есть седловые точки.

Определение седловой точки:
Элемент матрицы называется седловой точкой, если он является минимальным в своей строке и максимальным в своем столбце.

Шаг 1. Найдем минимумы по строкам:

• 1-я строка: \min(x, 1, 2)
• 2-я строка: \min(5, 2, 0) = 0
• 3-я строка: \min(3, 3, 0) = 0

Шаг 2. Найдем максимумы по столбцам:

• 1-й столбец: \max(x, 5, 3)
• 2-й столбец: \max(1, 2, 3) = 3
• 3-й столбец: \max(2, 0, 0) = 2

Шаг 3. Проверим, существует ли элемент, который одновременно минимален в своей строке и максимален в своем столбце.

Рассмотрим каждый элемент, который может быть минимальным в строке:

• В первой строке минимальный элемент зависит от x. Минимум будет:
  • Если x \leq 1, то минимум = x
  • Если x > 1, то минимум = 1

Проверим для каждого варианта:

1. Если минимум в первой строке - x, то элемент (1,1) = x должен быть максимальным в первом столбце:

   x = \max(x, 5, 3) = ?

   Максимум в первом столбце равен либо 5 (если x < 5) или x (если x \geq 5).

   Чтобы элемент x был максимальным в столбце, нужно x \geq 5.

   Также для минимума в строке нужно x \leq 1.
   Эти условия противоречивы (x \leq 1 и x \geq 5 одновременно невозможны).

2. Если минимум в первой строке - 1 (то есть x > 1), элемент (1,2) = 1 должен быть максимальным во втором столбце:

   Максимум второго столбца равен 3, а 1 < 3 — значит, элемент 1 не максимален в столбце.

   Значит, не седловая точка.

Теперь рассмотрим вторую и третью строки:

• Во второй строке минимум равен 0 (элемент (2,3)).

  Проверим, максимален ли этот элемент в третьем столбце:

  Максимум третьего столбца равен 2 (элемент (1,3)).

  0 < 2, значит, не седловая точка.

• В третьей строке минимум равен 0 (элемент (3,3)).

  Максимум третьего столбца — 2, 0 < 2, не седловая точка.

Вывод:
Седловых точек нет ни при каких значениях x.

Правильный ответ:
при любых значениях x седловых точек нет.

Это соответствует варианту:

с. при любых значениях x седловых точек нет