Найти сумму всех возможных значений (n)

Предмет: Математика

Раздел: Теория чисел

Дано число ( n ), у которого есть три различных делителя, сумма которых равна ( n - 5 ). Требуется найти сумму всех возможных значений ( n ).

Решение:

Пусть ( d_1, d_2, d_3 ) — три различных делителя числа ( n ), тогда по условию:
d_1 + d_2 + d_3 = n - 5

Число ( n ) должно иметь ровно три делителя (без учета самого числа), что возможно только в случае, если ( n ) является квадратом простого числа.

Обозначим ( n = p^2 ), где ( p ) — простое число. Тогда делителями ( n ) являются ( 1, p, p^2 ). Следовательно,
1 + p + p^2 = p^2 - 5

Решим уравнение:
1 + p + p^2 = p^2 - 5
1 + p + 5 = 0
p + 6 = 0
p = -6

Такого простого числа не существует. Следовательно, необходимо проверить другие возможные структуры числа ( n ).

Рассмотрим другой случай, когда у числа ( n ) есть ровно три делителя, например, если оно представляется в виде ( p^2 ) для простого ( p ).

Проверим несколько значений ( p ):

1. Пусть ( p = 2 ), тогда ( n = 2^2 = 4 ), делители: ( 1, 2, 4 ).
   1 + 2 + 4 = 7, но ( 4 - 5 = -1 \neq 7 ) — не подходит.

2. Пусть ( p = 3 ), тогда ( n = 3^2 = 9 ), делители: ( 1, 3, 9 ).
   1 + 3 + 9 = 13, но ( 9 - 5 = 4 \neq 13 ) — не подходит.

3. Пусть ( p = 5 ), тогда ( n = 5^2 = 25 ), делители: ( 1, 5, 25 ).
   1 + 5 + 25 = 31, но ( 25 - 5 = 20 \neq 31 ) — не подходит.

Таким образом, нет подходящих значений ( n ), удовлетворяющих условию. Возможно, в условии задачи есть ошибка.