Найти нижнюю, верхнюю цену игры, седловую точку (если она есть) и минимаксные стратегии игроков

Определение предмета и раздела

Данное задание относится к разделу "Теория игр" курса высшей математики.

Шаг 1: Найти нижнюю цену игры

Нижняя цена игры - это максимальное значение из минимальных выигрышей для каждого игрока по строкам (\( A_i \)).

Минимальные значения по строкам:

• \( A_1: \min(3.3, 2.7, 3.5, 3.1, 3.7) = 2.7 \)
• \( A_2: \min(3.6, 3.4, 3.2, 3.9, 3.8) = 3.2 \)
• \( A_3: \min(3.7, 3.5, 3.7, 4.1, 3.6) = 3.5 \)
• \( A_4: \min(4.2, 3.0, 3.4, 3.7, 3.6) = 3.0 \)
• \( A_5: \min(5.2, 3.4, 3.8, 3.7, 4.4) = 3.4 \)
• \( A_6: \min(4.3, 3.6, 3.3, 2.9, 3.6) = 2.9 \)

Максимальное значение из минимальных: \[ \max(2.7, 3.2, 3.5, 3.0, 3.4, 2.9) = 3.5 \]

Нижняя цена игры равна \( 3.5 \).

Шаг 2: Найти верхнюю цену игры

Верхняя цена игры - это минимальное значение из максимальных выигрышей для каждого игрока по столбцам (\( B_i \)).

Максимальные значения по столбцам:

• \( B_1: \max(3.3, 3.6, 3.7, 4.2, 5.2, 4.3) = 5.2 \)
• \( B_2: \max(2.7, 3.4, 3.5, 3.0, 3.4, 3.6) = 3.6 \)
• \( B_3: \max(3.5, 3.2, 3.7, 3.4, 3.8, 3.3) = 3.8 \)
• \( B_4: \max(3.1, 3.9, 4.1, 3.7, 3.7, 2.9) = 4.1 \)
• \( B_5: \max(3.7, 3.8, 3.6, 3.6, 4.4, 3.6) = 4.4 \)

Минимальное значение из максимальных: \[ \min(5.2, 3.6, 3.8, 4.1, 4.4) = 3.6 \]

Верхняя цена игры равна \( 3.6 \).

Шаг 3: Седловая точка

Седловая точка существует, если верхняя и нижняя цены равны. В данном случае нижняя цена (\( 3.5 \)) не равна верхней цене (\( 3.6 \)), поэтому седловой точки нет.

Шаг 4: Поиск минимаксных стратегий

Раз нижняя и верхняя цены различны, игрокам следует искать смешанные стратегии (минимаксные стратегии). Это включает использование линейного программирования или специальных методов для определения оптимальных смешанных стратегий. Однако точный расчет таких стратегий выходит за рамки базового анализа и требует применения методов линейного программирования (например, симплекс-метода).

Итог

• Нижняя цена игры: \( 3.5 \)
• Верхняя цена игры: \( 3.6 \)
• Седловая точка: отсутствует
• Минимаксные стратегии: требуют дополнительного анализа через линейное программирование.