Выполнить операции над графами

Предмет: Дискретная математика, раздел графы.

В данном задании нас просят выполнить операции над графами. Ниже разберем все пункты пошагово, поясняя детали.

Дано:

• \( K_4 \), \( K_3 \), \( K_2 \) — полные графы с 4, 3 и 2 вершинами соответственно. Полный граф — это граф, где каждая вершина соединена ребром с каждой другой вершиной.
• \( \overline{K_3} \), \( \overline{K_2} \), \( \overline{K_5} \) — дополнения графов \( K_3 \), \( K_2 \), \( K_5 \). Дополнение графа — это граф, в котором проведены рёбра только между теми парами вершин, которые не соединены в исходном графе.

Из рисунка также видно, что приведен граф, соответствующий \( K_5 \), его можно использовать для пояснений.

Разберем каждый пункт:

а) \( K_4 - v \), где \( v \) — произвольная вершина графа \( K_4 \).

Операция заключается в удалении из графа \( K_4 \) одной произвольной вершины \( v \) вместе с инцидентными ей рёбрами. Так как \( K_4 \) — полный граф с 4 вершинами, то он содержит:

• \( |V(K_4)| = 4 \) вершины,
• \( |E(K_4)| = \frac{4 \cdot (4-1)}{2} = 6 \) рёбер.

После удаления вершины \( v \), оставшиеся \( 3 \) вершины образуют новый граф, который будет \( K_3 \), содержащий \( 3 \) вершины и 3 рёбра.

Ответ: \( K_4 - v = K_3 \).

б) \( K_3 - e \), где \( e \) — произвольное ребро графа \( K_3 \).

Удалим из \( K_3 \) (графа с 3 вершинами и 3 ребрами) одно произвольное ребро \( e \). Оставшаяся структура будет иметь 3 вершины и 2 рёбра. Это граф с одной компонентой связности, представляющий собой путь длины 2 (т.е. граф без циклов).

Ответ: граф (путь) с 3 вершинами и 2 рёбрами.

в) \( K_3 \cup \overline{K_3} \).

Здесь \( \cup \) обозначает объединение графов.

• \( K_3 \) имеет 3 вершины и 3 рёбра.
• \( \overline{K_3} \) (дополнение графа \( K_3 \)) также содержит те же 3 вершины, но 0 рёбер.

При объединении мы получаем \( K_3 \), так как \( \overline{K_3} \) не добавляет новых рёбер.

Ответ: \( K_3 \).

г) \( O_1 + \overline{K_5} \).

• \( O_1 \) — это граф с одной вершиной и без рёбер.
• \( \overline{K_5} \) — это дополнение графа \( K_5 \): граф с 5 вершинами и без рёбер.

Операция «+» здесь, вероятно, означает объединение графов с добавлением рёбер от каждой вершины одного графа ко всем вершинам другого. Получаем граф с 6 вершинами, где:

• Вершина из \( O_1 \) соединена со всеми 5 вершинами \( \overline{K_5} \).

Ответ: граф с 6 вершинами и 5 рёбрами (звезда \( K_{1,5} \)).

д) \( \overline{K_2} + \overline{K_5} \).

• \( \overline{K_2} \) — граф с 2 вершинами и без рёбер.
• \( \overline{K_5} \) — граф с 5 вершинами и без рёбер.

При операции «+» соединяем каждую вершину \( \overline{K_2} \) со всеми вершинами \( \overline{K_5} \). В результате получается двудольный граф \( K_{2,5} \) с 2 и 5 вершинами в долях.

Ответ: \( K_{2,5} \) (двудольный граф).

е) \( K_2 \times K_3 \).

Операция \( \times \) — это прямое произведение графов. Определяется так:

• Вершины нового графа — упорядоченные пары \( (u, v) \), где \( u \) — вершина \( K_2 \), \( v \) — вершина \( K_3 \).
• Рёбра соединяют вершины \( (u_1, v_1) \) и \( (u_2, v_2) \), если либо \( u_1 = u_2 \) и \( v_1v_2 \in E(K_3) \), либо \( v_1 = v_2 \) и \( u_1u_2 \in E(K_2) \).

• \( K_2 \) имеет 2 вершины и 1 ребро.
• \( K_3 \) имеет 3 вершины и 3 рёбра.

Прямое произведение даст граф с \( 2 \cdot 3 = 6 \) вершинами и множеством рёбер, определенным выше.

Ответ: граф с 6 вершинами и 9 рёбрами.

ж) Добавить вершину \( v \) в ребро графа \( \overline{K_3} \).

• \( \overline{K_3} \) — это граф с 3 вершинами и без рёбер.
• При добавлении вершины \( v \) в ребро, фактически создаётся новое ребро, инцидентное \( v \). Так как в \( \overline{K_3} \) нет рёбер, после операции структура \( \overline{K_3} \) не изменится, и новая вершина \( v \) будет просто добавлена без соединений.

Ответ: граф с 4 вершинами и 0 рёбрами.