Построить дерево маршрутов из вершины 1 в вершину 9, учитывая, что движение возможно только по стрелкам, и каждый пункт можно проходить не более одного раза

Предмет: Математика
Раздел: Теория графов, оптимизация маршрутов

Задача: построить дерево маршрутов из вершины 1 в вершину 9, учитывая, что движение возможно только по стрелкам, и каждый пункт можно проходить не более одного раза. Найти оптимальный маршрут по критерию наименьшей стоимости, где стоимость перехода по дуге задана на графе в виде выражений с параметром N (номер варианта).

Шаг 1. Анализ графа и возможных маршрутов

Доступные переходы (дуги) с их стоимостью:

• 1 \to 2, стоимость: N
• 1 \to 4, стоимость: N+1
• 2 \to 3, стоимость: N-3
• 2 \to 5, стоимость: N
• 2 \to 6, стоимость: N+2
• 3 \to 6, стоимость: N+1
• 4 \to 5, стоимость: N-6
• 4 \to 7, стоимость: N
• 4 \to 8, стоимость: N+2
• 5 \to 6, стоимость: N
• 6 \to 9, стоимость: N
• 7 \to 8, стоимость: N-5
• 8 \to 9, стоимость: N

Шаг 2. Поиск всех маршрутов из 1 в 9

Составим дерево маршрутов, учитывая, что нельзя проходить вершины более одного раза.

1. 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9
2. 1 \to 2 \to 5 \to 6 \to 9
3. 1 \to 4 \to 5 \to 6 \to 9
4. 1 \to 4 \to 7 \to 8 \to 9
5. 1 \to 4 \to 8 \to 9

Шаг 3. Вычисление стоимости каждого маршрута

Для каждого маршрута суммируем стоимости дуг.

1. 1 \to 2 \to 3 \to 6 \to 9
   Стоимость = N + (N - 3) + (N + 1) + N = 4N - 2

2. 1 \to 2 \to 5 \to 6 \to 9
   Стоимость = N + N + N + N = 4N

3. 1 \to 4 \to 5 \to 6 \to 9
   Стоимость = (N + 1) + (N - 6) + N + N = 4N - 5

4. 1 \to 4 \to 7 \to 8 \to 9
   Стоимость = (N + 1) + N + (N - 5) + N = 4N - 4

5. 1 \to 4 \to 8 \to 9
   Стоимость = (N + 1) + (N + 2) + N = 3N + 3

Шаг 4. Определение оптимального маршрута

Сравним стоимости:

• Маршрут 1: 4N - 2
• Маршрут 2: 4N
• Маршрут 3: 4N - 5
• Маршрут 4: 4N - 4
• Маршрут 5: 3N + 3

Для больших N минимальную стоимость будет иметь маршрут с минимальным коэффициентом при N и наименьшим свободным членом.

Проверим для разных значений N:

• Если N \geq 6, то 3N + 3 \leq 4N - 5 (например, при N=6: 21 \leq 19 — нет, маршрут 3 дешевле).
• При N=5:
  • Маршрут 3: 4*5 - 5 = 15
  • Маршрут 5: 3*5 + 3 = 18
    Значит маршрут 3 дешевле.

Таким образом, при типичных значениях N (номер варианта — положительное число) оптимальным будет маршрут 3:
1 \to 4 \to 5 \to 6 \to 9 с суммарной стоимостью 4N - 5.

Итог:

Дерево маршрутов — все перечисленные пути из 1 в 9.

Оптимальный маршрут по стоимости:
1 \to 4 \to 5 \to 6 \to 9.

Если нужно, могу нарисовать дерево маршрутов в текстовом виде или графически. Хотите?