Построение графа по матрице инцидентности

Условие:

Решение:

Этот вопрос относится к предмету "Дискретная математика", а конкретно к разделу "Теория графов". ## Решение ### 1. Построение графа по матрице инцидентности Матрица инцидентности \( A_{\text{инц}} \) показывает связь вершин с рёбрами графа. В данном случае у нас есть 4 вершины и 7 рёбер: \[ A_{\text{инц}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] - Первая строка (вершина 1) инцидентна рёбрам \( e_1, e_4, e_5, e_6, e_7 \). - Вторая строка (вершина 2) инцидентна рёбрам \( e_1, e_2, e_3, e_7 \). - Третья строка (вершина 3) инцидентна рёбрам \( e_2, e_3, e_4 \). - Четвёртая строка (вершина 4) инцидентна рёбрам \( e_5, e_6 \). ### Рисуем граф: 1. Вершины: \( v_1, v_2, v_3, v_4 \). 2. Рёбра: \( e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7 \). | Ребро | Вершины | |----------|---------| | \( e_1 \) | \( v_1 \)--\( v_2 \) | | \( e_2 \) | \( v_2 \)--\( v_3 \) | | \( e_3 \) | \( v_2 \)--\( v_3 \) | | \( e_4 \) | \( v_1 \)--\( v_3 \) | | \( e_5 \) | \( v_1 \)--\( v_4 \) | | \( e_6 \) | \( v_1 \)--\( v_4 \) | | \( e_7 \) | \( v_1 \)--\( v_2 \) | ### 2. Определение гамильтонова и эйлерова циклов **Гамильтонов цикл** — это цикл, проходящий через каждую вершину графа ровно один раз. **Эйлеров цикл** — это цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз. #### Гамильтонов цикл Для поиска гамильтонова цикла: 1. \( v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_1 \) Гамильтонов цикл найден: \[ v_1 - v_2 - v_3 - v_4 - v_1 \] #### Эйлеров цикл Для поиска эйлерова цикла все вершины должны иметь четную степень. Поскольку у вершины \( v_1 \) степень 5 (нечетная), Эйлерова цикла в данном графе нет. Ответ: - Гамильтонов цикл: \( v_1 - v_2 - v_3 - v_4 - v_1 \) - Эйлерова цикла нет