Построение графа по матрице инцидентности

Этот вопрос относится к предмету "Дискретная математика", а конкретно к разделу "Теория графов".

Решение

1. Построение графа по матрице инцидентности

Матрица инцидентности \( A_{\text{инц}} \) показывает связь вершин с рёбрами графа. В данном случае у нас есть 4 вершины и 7 рёбер:

\[ A_{\text{инц}} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]

• Первая строка (вершина 1) инцидентна рёбрам \( e_1, e_4, e_5, e_6, e_7 \).
• Вторая строка (вершина 2) инцидентна рёбрам \( e_1, e_2, e_3, e_7 \).
• Третья строка (вершина 3) инцидентна рёбрам \( e_2, e_3, e_4 \).
• Четвёртая строка (вершина 4) инцидентна рёбрам \( e_5, e_6 \).

Рисуем граф:

1. Вершины: \( v_1, v_2, v_3, v_4 \).
2. Рёбра: \( e_1, e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7 \).

Ребро	Вершины
\( e_1 \)	\( v_1 \)--\( v_2 \)
\( e_2 \)	\( v_2 \)--\( v_3 \)
\( e_3 \)	\( v_2 \)--\( v_3 \)
\( e_4 \)	\( v_1 \)--\( v_3 \)
\( e_5 \)	\( v_1 \)--\( v_4 \)
\( e_6 \)	\( v_1 \)--\( v_4 \)
\( e_7 \)	\( v_1 \)--\( v_2 \)

2. Определение гамильтонова и эйлерова циклов

Гамильтонов цикл — это цикл, проходящий через каждую вершину графа ровно один раз. Эйлеров цикл — это цикл, который проходит через каждое ребро графа ровно один раз.

Гамильтонов цикл

Для поиска гамильтонова цикла:

1. \( v_1 \to v_2 \to v_3 \to v_4 \to v_1 \)

Гамильтонов цикл найден:

\[ v_1 - v_2 - v_3 - v_4 - v_1 \]

Эйлеров цикл

Для поиска эйлерова цикла все вершины должны иметь четную степень. Поскольку у вершины \( v_1 \) степень 5 (нечетная), Эйлерова цикла в данном графе нет.

Ответ:

• Гамильтонов цикл: \( v_1 - v_2 - v_3 - v_4 - v_1 \)
• Эйлерова цикла нет