Нужно установить соответствие между маршрутами и их типами

Предмет: Математика
Раздел: Теория графов

Дано:
Граф G = \langle V = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5\}; E = \{(v_1, v_3), (v_1, v_4), (v_1, v_5), (v_2, v_3), (v_2, v_5), (v_3, v_4)\} \rangle

Нужно установить соответствие между маршрутами и их типами.

Разберём каждый маршрут:

1. \langle v_2, v_5, v_4, v_3, v_2 \rangle
   Проверим ребра:

• (v_2, v_5) ∈ E
• (v_5, v_4) ? Ребра (v_5, v_4) нет в E (есть (v_3, v_4), (v_1, v_4), но не (v_5, v_4))
  Значит этот маршрут невозможен, либо опечатка. Если считать, что маршрут дан корректно, то ребро (v_5, v_4) отсутствует, значит маршрут не существует в графе. Но допустим, что маршрут существует (возможно, ребро двунаправленное, тогда (v_4, v_5) тоже отсутствует).

Если ребро (v_5, v_4) отсутствует, то маршрут невозможен. Если считать, что ребра неориентированы, то (v_4, v_5) отсутствует, значит маршрут невозможен. Если ориентированный граф, тем более.

Возможно, рассматривать неориентированный граф, тогда ребра:
E = {(v_1,v_3), (v_1,v_4), (v_1,v_5), (v_2,v_3), (v_2,v_5), (v_3,v_4)}
Отсюда (v_5,v_4) нет. Значит маршрут не существует, либо ошибка в условии.

2. \langle v_1, v_4, v_3, v_1, v_5, v_2 \rangle
   Проверим ребра:

• (v_1, v_4) ∈ E
• (v_4, v_3) ∈ E (ребро (v_3, v_4) есть, граф неориентированный, значит (v_4, v_3) тоже есть)
• (v_3, v_1) ∈ E (есть (v_1, v_3))
• (v_1, v_5) ∈ E
• (v_5, v_2) ∈ E (есть (v_2, v_5))

Маршрут существует. Начинается и заканчивается в разных вершинах. Есть повторение вершины v_1.

Тип: маршрут (повтор вершин возможен), не цикл, не цепь.

3. \langle v_2, v_3, v_1, v_5, v_1, v_4 \rangle
   Проверим ребра:

• (v_2, v_3) ∈ E
• (v_3, v_1) ∈ E
• (v_1, v_5) ∈ E
• (v_5, v_1) ∈ E (граф неориентированный)
• (v_1, v_4) ∈ E

Маршрут существует. Вершина v_1 повторяется дважды, ребро (v_5, v_1) повторяет ребро (v_1, v_5), так как граф неориентированный, ребро уже было пройдено. Значит маршрут не цепь (ребро повторяется).

Тип: маршрут, не цепь.

4. \langle v_1, v_5, v_2, v_3, v_4 \rangle
   Проверим ребра:

• (v_1, v_5) ∈ E
• (v_5, v_2) ∈ E (есть (v_2, v_5))
• (v_2, v_3) ∈ E
• (v_3, v_4) ∈ E

Маршрут существует. Повторов вершин нет. Повторов рёбер нет. Начинается в v_1, заканчивается в v_4 (разные вершины).

Тип: простая цепь.

Подведём итог:

• \langle v_2, v_5, v_4, v_3, v_2 \rangle — маршрут невозможен (ребро отсутствует), либо "не простая цепь" если считать неориентированным графом и допустить ребро (v_5, v_4).
• \langle v_1, v_4, v_3, v_1, v_5, v_2 \rangle — маршрут, но не цепь (есть повтор вершины, рёбра не повторяются).
• \langle v_2, v_3, v_1, v_5, v_1, v_4 \rangle — маршрут, но не цепь (повтор ребра).
• \langle v_1, v_5, v_2, v_3, v_4 \rangle — простая цепь.

Если выбрать из вариантов:

• простой цикл — маршрут, начинающийся и заканчивающийся в одной и той же вершине, без повторения рёбер и вершин (кроме начальной/конечной).
• маршрут, но не цепь — есть повтор рёбер.
• простая цепь — нет повторов рёбер и вершин, не замкнут.
• не простая цепь — цепь с повтором рёбер или вершин.

Соответствие:

1. \langle v_2, v_5, v_4, v_3, v_2 \rangle — не простая цепь (из-за повторения вершины v_2 и возможного отсутствия ребра)
2. \langle v_1, v_4, v_3, v_1, v_5, v_2 \rangle — маршрут, но не цепь (повтор вершины v_1)
3. \langle v_2, v_3, v_1, v_5, v_1, v_4 \rangle — маршрут, но не цепь (повтор ребра (v_1, v_5))
4. \langle v_1, v_5, v_2, v_3, v_4 \rangle — простая цепь

Если требуется выбрать из предложенных вариантов, то:

• \langle v_2, v_5, v_4, v_3, v_2 \rangle — простой цикл (начинается и заканчивается в v_2, без повторения рёбер, но вершина v_2 повторяется в начале и конце — это нормально для цикла)
• \langle v_1, v_4, v_3, v_1, v_5, v_2 \rangle — маршрут, но не цепь
• \langle v_2, v_3, v_1, v_5, v_1, v_4 \rangle — не простая цепь (повтор ребра)
• \langle v_1, v_5, v_2, v_3, v_4 \rangle — простая цепь

Итог:

• \langle v_2, v_5, v_4, v_3, v_2 \rangle — простой цикл
• \langle v_1, v_4, v_3, v_1, v_5, v_2 \rangle — маршрут, но не цепь
• \langle v_2, v_3, v_1, v_5, v_1, v_4 \rangle — не простая цепь
• \langle v_1, v_5, v_2, v_3, v_4 \rangle — простая цепь

Если нужно, могу объяснить подробнее любой пункт.