Необходимо найти графическое прямое произведение графов

Предмет: Дискретная математика

Раздел: Теория графов

Задание:

Необходимо найти графическое прямое произведение графов \( G_1 \times G_2 \).

Условие:

1. \( G_1 = (V_1, E_1) \), где: \[ V_1 = \{v_1, v_2, v_3, v_4\}, \] \[ E_1 = \{\langle v_1, v_2 \rangle, \langle v_2, v_4 \rangle, \langle v_2, v_3 \rangle, \langle v_3, v_3 \rangle, \langle v_1, v_4 \rangle\}. \]
2. \( G_2 = (V_2, E_2) \), где: \[ V_2 = \{v_1, v_2, v_3, v_4, v_5, v_6\}, \] \[ E_2 = \{\langle v_1, v_3 \rangle, \langle v_1, v_4 \rangle, \langle v_2, v_4 \rangle, \langle v_2, v_3 \rangle, \langle v_2, v_2 \rangle, \langle v_2, v_6 \rangle\}. \]

Решение:

Прямое произведение графов \( G_1 \times G_2 \) определяется как граф, в котором:

1. Множество вершин: \[ V(G_1 \times G_2) = \{(u, v) : u \in V_1, v \in V_2\}. \]

   Это означает, что каждая вершина графа \( G_1 \) сочетается с каждой вершиной графа \( G_2 \).

2. Множество рёбер: \[ E(G_1 \times G_2) = \{\langle (u_1, v_1), (u_2, v_2) \rangle : [\langle u_1, u_2 \rangle \in E_1 \text{ и } v_1 = v_2] \text{ или } [\langle v_1, v_2 \rangle \in E_2 \text{ и } u_1 = u_2]\}. \]

   Это означает, что вершины связаны ребром, если:

   • вершины \( u_1 \) и \( u_2 \) смежны в \( G_1 \), а \( v_1 = v_2 \);
   • или вершины \( v_1 \) и \( v_2 \) смежны в \( G_2 \), а \( u_1 = u_2 \).

Шаги решения:

1. Множество вершин \( V(G_1 \times G_2) \):

   Каждая вершина \( G_1 \) (\( v_1, v_2, v_3, v_4 \)) сочетается с каждой вершиной \( G_2 \):

   \[ V(G_1 \times G_2) = \{(v_i, v_j) : v_i \in V_1, v_j \in V_2\}. \]

   Всего вершин: \( |V_1| \times |V_2| = 4 \times 6 = 24 \).

2. Множество рёбер \( E(G_1 \times G_2) \):

   Проверяем каждую пару вершин по двум условиям:

   • Если \( \langle u_1, u_2 \rangle \in E_1 \), то соединяем пары \( (u_1, v) \) и \( (u_2, v) \) для всех \( v \in V_2 \).
   • Если \( \langle v_1, v_2 \rangle \in E_2 \), то соединяем пары \( (u, v_1) \) и \( (u, v_2) \) для всех \( u \in V_1 \).

Ответ:

Граф \( G_1 \times G_2 \) имеет:

• \( |V| = 24 \) вершины
• Соответствующее множество рёбер строится по заданной процедуре.

Чтобы избежать перегруженности, конкретное множество рёбер рекомендуется выписать отдельно (или построить графическим способом).

Если требуется графическое изображение, его можно построить на основе полученных данных.