Найдите значение выражения ctg²a-tg²a, если ctga-tga=5

Предмет: Математика
Раздел: Тригонометрия

Дано выражение:
 \cot a - \tan a = 5 

Нужно найти значение выражения:
 \cot^2 a - \tan^2 a 

Рассмотрим выражение  \cot^2 a - \tan^2 a . Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле:
 \cot^2 a - \tan^2 a = (\cot a - \tan a)(\cot a + \tan a) 

Из условия известно, что:
 \cot a - \tan a = 5 

Чтобы найти  \cot a + \tan a , выразим  \cot a  и  \tan a  через синус и косинус:
 \cot a = \frac{\cos a}{\sin a}, \quad \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} 

Тогда:
 \cot a + \tan a = \frac{\cos a}{\sin a} + \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a + \sin^2 a}{\sin a \cos a} = \frac{1}{\sin a \cos a} 

Аналогично:
 \cot a - \tan a = \frac{\cos a}{\sin a} - \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a \cos a} 

По условию:
 \frac{\cos^2 a - \sin^2 a}{\sin a \cos a} = 5 

Обозначим:
 \sin a \cos a = S, \quad \cos^2 a - \sin^2 a = C 

Тогда:
 \frac{C}{S} = 5 \implies C = 5S 

Теперь найдем:
 \cot^2 a - \tan^2 a = (\cot a - \tan a)(\cot a + \tan a) = 5 \cdot \frac{1}{S} = \frac{5}{S} 

Но нам нужно выразить это через известные величины.

Заметим, что:
 C = \cos^2 a - \sin^2 a = \cos 2a 
и
 S = \sin a \cos a = \frac{1}{2} \sin 2a 

Из равенства:
 \frac{C}{S} = 5 \implies \frac{\cos 2a}{\frac{1}{2} \sin 2a} = 5 \implies \frac{2 \cos 2a}{\sin 2a} = 5 

Отсюда:
 \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = \frac{5}{2} 

То есть:
 \cot 2a = \frac{5}{2} 

Теперь вычислим  \cot^2 a - \tan^2 a = \frac{5}{S} = \frac{5}{\sin a \cos a} = \frac{5}{S} 

Подставим  S = \frac{1}{2} \sin 2a , тогда:
 \cot^2 a - \tan^2 a = \frac{5}{\frac{1}{2} \sin 2a} = \frac{10}{\sin 2a} 

Но из предыдущего равенства:
 \cot 2a = \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = \frac{5}{2} \implies \cos 2a = \frac{5}{2} \sin 2a 

Найдём  \sin 2a  через  \cos 2a  или наоборот.

Используем тригонометрическое тождество:
 \sin^2 2a + \cos^2 2a = 1 

Подставим  \cos 2a = \frac{5}{2} \sin 2a :
 \sin^2 2a + \left(\frac{5}{2} \sin 2a\right)^2 = 1 
 \sin^2 2a + \frac{25}{4} \sin^2 2a = 1 
 \sin^2 2a \left(1 + \frac{25}{4}\right) = 1 
 \sin^2 2a \cdot \frac{29}{4} = 1 
 \sin^2 2a = \frac{4}{29} 

Тогда:
 \sin 2a = \pm \frac{2}{\sqrt{29}} 

Подставим в выражение:
 \cot^2 a - \tan^2 a = \frac{10}{\sin 2a} = \pm \frac{10}{\frac{2}{\sqrt{29}}} = \pm 10 \cdot \frac{\sqrt{29}}{2} = \pm 5 \sqrt{29} 

Ответ:
 \cot^2 a - \tan^2 a = \pm 5 \sqrt{29} 

Знак зависит от конкретного значения угла  a , но обычно берут положительный корень, если не указано иное.