Докажите, что в любом связном графе есть путь , проходящий через все его рёбра.

Условие:

Докажите, что в любом связном графе есть путь , проходящий через все его рёбра.

Решение:

Предмет: Математика Раздел: Теория графов Задание: Доказать, что в любом связном графе существует путь, который проходит через все его рёбра. Для этого задания мы прибегнем к понятию эйлерова пути. Эйлеров путь или эйлеров цикл — это путь или цикл в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз. **Теорема Эйлера**: В связном графе имеется эйлеров цикл тогда и только тогда, когда каждая вершина этого графа имеет чётную степень. Имеется эйлеров путь (но не эйлеров цикл), если ровно две вершины имеют нечётную степень, все остальные — чётную. Однако доказательство, что путь, проходящий через все рёбра, существует в любом связном графе, входит в задачу. **Доказательство:** 1. **Основные понятия и определения**: - **Граф** \(G\) состоит из множества вершин \(V\) и множества рёбер \(E\). - Граф \(G\) связан, если существует хотя бы один путь между любой парой вершин. 2. **Эйлеров путь**: - Пусть \(G\) связан и имеет вершины с нечётной степенью. - Если граф \(G\) имеет ровно 0 или 2 вершины с нечётной степенью, то в нем существует эйлеров путь. 3. **Рассмотрим два случая**: - Вершины графа имеют все чётные степени. - Граф имеет ровно две вершины с нечётной степенью. **Первый случай**: - Если все вершины \(G\) имеют чётную степень, то по теореме Эйлера в графе существует эйлеров цикл. - Эйлеров цикл по определению проходит через все рёбра ровно один раз. Следовательно, мы доказали, что путь, проходящий через все рёбра, в этом случае существует. **Второй случай**: - Если у графа ровно две вершины \(u\) и \(v\) имеют нечётную степень, то существует эйлеров путь, который начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой. - Этот эйлеров путь также проходит через все рёбра графа ровно один раз. 4. **Заключение**: - Если граф имеет больше двух вершин с нечётной степенью, то граф невозможно сделать связным, пока не добавим рёбра. - В любом связном графе либо все вершины имеют чётную степень (и существует эйлеров цикл), либо две вершины имеют нечётную степень (и существует эйлеров путь). Таким образом, в любом связном графе всегда можно найти путь (эйлеров путь или эйлеров цикл), который пройдет через все его рёбра.