Докажите, что в любом связном графе есть путь , проходящий через все его рёбра.

Предмет: Математика

Раздел: Теория графов

Задание: Доказать, что в любом связном графе существует путь, который проходит через все его рёбра.

Для этого задания мы прибегнем к понятию эйлерова пути. Эйлеров путь или эйлеров цикл — это путь или цикл в графе, который проходит по каждому ребру ровно один раз.

Теорема Эйлера: В связном графе имеется эйлеров цикл тогда и только тогда, когда каждая вершина этого графа имеет чётную степень. Имеется эйлеров путь (но не эйлеров цикл), если ровно две вершины имеют нечётную степень, все остальные — чётную.

Доказательство:

1. Основные понятия и определения:
   • Граф \(G\) состоит из множества вершин \(V\) и множества рёбер \(E\).
   • Граф \(G\) связан, если существует хотя бы один путь между любой парой вершин.
2. Эйлеров путь:
   • Пусть \(G\) связан и имеет вершины с нечётной степенью.
   • Если граф \(G\) имеет ровно 0 или 2 вершины с нечётной степенью, то в нем существует эйлеров путь.
3. Рассмотрим два случая:
   • Вершины графа имеют все чётные степени.
   • Граф имеет ровно две вершины с нечётной степенью.

Первый случай: Если все вершины \(G\) имеют чётную степень, то по теореме Эйлера в графе существует эйлеров цикл. Эйлеров цикл по определению проходит через все рёбра ровно один раз. Следовательно, мы доказали, что путь, проходящий через все рёбра, в этом случае существует.

Второй случай: Если у графа ровно две вершины \(u\) и \(v\) имеют нечётную степень, то существует эйлеров путь, который начинается в одной из этих вершин и заканчивается в другой. Этот эйлеров путь также проходит через все рёбра графа ровно один раз.

Заключение: Если граф имеет больше двух вершин с нечётной степенью, то граф невозможно сделать связным, пока не добавим рёбра. В любом связном графе либо все вершины имеют чётную степень (и существует эйлеров цикл), либо две вершины имеют нечётную степень (и существует эйлеров путь).

Таким образом, в любом связном графе всегда можно найти путь (эйлеров путь или эйлеров цикл), который пройдет через все его рёбра.