Анализ связности графов G и G-

Предмет: Теория графов
Раздел: Связность графов, компоненты связности, мосты, точки сочленения, блоки, маршруты и цепи

Дана матрица инцидентности графа B_G:

 B_G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ \end{pmatrix} 

4) Анализ связности графов G и G-

Сначала определим, что такое графы G и G-. Обычно G- — это граф G без ориентированности (или без некоторых ребер), но в условии не указано, что такое G-. Предположим, что G — ориентированный граф, а G- — неориентированный граф, полученный из G.

Определение связности графа G (ориентированного)

• Связный ориентированный граф (сильно связный) — если для любых двух вершин существует ориентированный путь в обе стороны.
• Слабосвязный граф — если при замене всех ориентированных рёбер на неориентированные граф становится связным.

Шаг 1: Восстановим структуру графа по матрице инцидентности

Матрица инцидентности для ориентированного графа обычно определяется так:

• Строки — вершины (5 вершин: V1, V2, V3, V4, V5)
• Столбцы — рёбра (5 рёбер: e1, e2, e3, e4, e5)
• В ячейке:
  • 1 означает, что ребро инцидентно вершине (обычно +1 для конца ребра, -1 для начала)
  • 0 — не инцидентно

Но здесь 0 и 1, без отрицательных значений, значит, возможно, граф неориентирован или матрица построена иначе (например, инцидентность без направления).

Посмотрим по столбцам:

• e1: вершины с 1 — V2, V3 → ребро между V2 и V3
• e2: вершины с 1 — V1, V2 → ребро V1—V2
• e3: вершины с 1 — V3, V4 → ребро V3—V4
• e4: вершины с 1 — V4, V5 → ребро V4—V5
• e5: вершины с 1 — V2, V4 → ребро V2—V4

Таким образом, граф G (и G-) — неориентированный граф с рёбрами:

 E = \{ (V1,V2), (V2,V3), (V3,V4), (V4,V5), (V2,V4) \} 

Проверка связности графа G

Проверим связность:

• Из V1 можно дойти до V2 (есть ребро)
• Из V2 можно дойти до V3, V4 (есть ребра)
• Из V4 можно дойти до V5
• Значит, все вершины связаны между собой через пути.

Вывод: граф связный, количество компонент связности равно 1.

Поиск мостов (рёбер, удаление которых увеличивает число компонент связности)

Проверим каждое ребро:

• Удалим (V1,V2): остались ребра (V2,V3), (V3,V4), (V4,V5), (V2,V4). Можно добраться от V1 к другим? Нет, V1 изолирована. Значит (V1,V2) — мост.

• Удалим (V2,V3): остались (V1,V2), (V3,V4), (V4,V5), (V2,V4). Можно добраться от V3 к другим? Да, через V4 и V2. Значит не мост.

• Удалим (V3,V4): остались (V1,V2), (V2,V3), (V4,V5), (V2,V4). Можно добраться от V3 к V4? Нет, V4 и V5 изолированы. Значит (V3,V4) — мост.

• Удалим (V4,V5): остались (V1,V2), (V2,V3), (V3,V4), (V2,V4). V5 изолирована. Значит (V4,V5) — мост.

• Удалим (V2,V4): остались (V1,V2), (V2,V3), (V3,V4), (V4,V5). Можно добраться между всеми вершинами? Да, через (V3,V4). Значит не мост.

Мосты: (V1,V2), (V3,V4), (V4,V5).

Поиск точек сочленения (вершин, удаление которых увеличивает число компонент связности)

Проверим каждую вершину:

• Удалим V1: граф с V2, V3, V4, V5 связан? Да.
• Удалим V2: остались V1, V3, V4, V5. Рёбра: (V3,V4), (V4,V5). V1 изолирована. Значит V2 — точка сочленения.
• Удалим V3: остались V1, V2, V4, V5. Рёбра: (V1,V2), (V2,V4), (V4,V5). Граф связен. Нет.
• Удалим V4: остались V1, V2, V3, V5. Рёбра: (V1,V2), (V2,V3). V5 изолирована. Значит V4 — точка сочленения.
• Удалим V5: граф с V1, V2, V3, V4 связан? Да.

Точки сочленения: V2, V4.

Блоки графа

Блок — максимальный связный подграф без точек сочленения (блок — либо мост, либо максимальный 2-связный подграф).

Разобьём граф на блоки:

• Блок 1: ребро (V1,V2) — мост, блок.
• Блок 2: подграф с вершинами {V2, V3, V4} и рёбрами (V2,V3), (V2,V4), (V3,V4). Это треугольник, 2-связный.
• Блок 3: ребро (V4,V5) — мост, блок.

5) Примеры маршрутов и цепей в графе G

• Маршрут — последовательность рёбер, где каждое ребро инцидентно с предыдущим, вершины могут повторяться.
• Цепь — маршрут, в котором рёбра не повторяются.
• Простая цепь — цепь, в которой вершины не повторяются (кроме, возможно, начальной и конечной, если это цикл).

а) Маршрут, не являющийся цепью (т.е. с повторяющимися рёбрами):

Пример:
V1 — V2 — V3 — V2 — V4
Рёбра: (V1,V2), (V2,V3), (V2,V3) — ребро (V2,V3) повторяется, значит это маршрут, но не цепь.

б) Цепь, не являющаяся простой:

Цепь без повторяющихся рёбер, но с повторяющимися вершинами.

Пример:
V1 — V2 — V4 — V2 — V3
Рёбра: (V1,V2), (V2,V4), (V2,V4), (V2,V3) — но ребро (V2,V4) повторяется, значит это не цепь. Нужно выбрать другой пример.

Другой пример:
V3 — V4 — V2 — V3
Рёбра: (V3,V4), (V2,V4), (V2,V3)
Рёбра не повторяются, но вершина V3 повторяется в начале и конце — это цепь, но не простая (потому что вершина повторяется).

в) Простая цепь:

Пример:
V1 — V2 — V4 — V5
Рёбра: (V1,V2), (V2,V4), (V4,V5)
Вершины не повторяются, рёбра не повторяются — простая цепь.

Итог:

• Граф G связный, количество компонент связности = 1.

• Мосты: (V1,V2), (V3,V4), (V4,V5).

• Точки сочленения: V2, V4.

• Блоки:

  1. ребро (V1,V2),
  2. треугольник с вершинами V2, V3, V4,
  3. ребро (V4,V5).

• Примеры в графе G:
  а) Маршрут, не являющийся цепью: V1 — V2 — V3 — V2 — V4
  б) Цепь, не являющаяся простой: V3 — V4 — V2 — V3
  в) Простая цепь: V1 — V2 — V4 — V5

Если нужны дополнительные пояснения или построения, могу помочь.