Вычисление площади и объема многогранников

Предмет: Стереометрия
Раздел: Вычисление площади и объема многогранников

Даны координаты вершин пирамиды:
A(3; -8; -7), B(4; -6; 2), C(-3; 5; 1), D(1; 1; 4).

1. Найдем площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно найти через векторное произведение векторов AB и AC:

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC
 \overrightarrow{AB} = (4 - 3; -6 + 8; 2 + 7) = (1; 2; 9) 
 \overrightarrow{AC} = (-3 - 3; 5 + 8; 1 + 7) = (-6; 13; 8) 

Шаг 2: Найдем векторное произведение [\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}]
Формула векторного произведения:
 \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 9 \ -6 & 13 & 8 \end{vmatrix} 

Вычисляем определитель:
 \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i} (2 \cdot 8 - 9 \cdot 13) - \mathbf{j} (1 \cdot 8 - 9 \cdot (-6)) + \mathbf{k} (1 \cdot 13 - 2 \cdot (-6)) 

 = \mathbf{i} (16 - 117) - \mathbf{j} (8 + 54) + \mathbf{k} (13 + 12) 
 = \mathbf{i} (-101) - \mathbf{j} (62) + \mathbf{k} (25) 
 = (-101; -62; 25) 

Шаг 3: Найдем модуль векторного произведения
 |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-101)^2 + (-62)^2 + 25^2} 
 = \sqrt{10201 + 3844 + 625} 
 = \sqrt{14670} 
 \approx 121.17 

Шаг 4: Найдем площадь треугольника ABC
 S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| 
 = \frac{1}{2} \times 121.17 
 \approx 60.59 

2. Найдем объем пирамиды ABCD

Объем пирамиды вычисляется по формуле:
 V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right| 

Шаг 1: Найдем вектор AD
 \overrightarrow{AD} = (1 - 3; 1 + 8; 4 + 7) = (-2; 9; 11) 

Шаг 2: Найдем [\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}]
 \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -6 & 13 & 8 \ -2 & 9 & 11 \end{vmatrix} 

Вычисляем определитель:
 \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \mathbf{i} (13 \cdot 11 - 8 \cdot 9) - \mathbf{j} (-6 \cdot 11 - 8 \cdot (-2)) + \mathbf{k} (-6 \cdot 9 - 13 \cdot (-2)) 

 = \mathbf{i} (143 - 72) - \mathbf{j} (-66 + 16) + \mathbf{k} (-54 + 26) 
 = \mathbf{i} (71) - \mathbf{j} (-50) + \mathbf{k} (-28) 
 = (71; 50; -28) 

Шаг 3: Найдем скалярное произведение [\overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD})]
 \overrightarrow{AB} \cdot (71; 50; -28) = 1 \cdot 71 + 2 \cdot 50 + 9 \cdot (-28) 
 = 71 + 100 - 252 
 = -81 

Шаг 4: Найдем объем пирамиды
 V_{ABCD} = \frac{1}{6} | -81 | 
 = \frac{81}{6} 
 = 13.5 

Ответ:

 S_{ABC} \approx 60.59, \quad V_{ABCD} = 13.5