Вычисление объема пирамиды с вершинами

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия

Для вычисления объема пирамиды с вершинами ( O(0, 0, 0) ), ( A(5, 2, 0) ), ( B(2, 5, 0) ), ( C(1, 2, 4) ) используется формула объема пирамиды через определитель:

V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} \right|,

где ( (x_1, y_1, z_1) ), ( (x_2, y_2, z_2) ), ( (x_3, y_3, z_3) ) — координаты векторов, образованных из вершин пирамиды. Векторы строятся относительно вершины ( O ), которая является началом координат.

Шаги решения:

1. Построим векторы:

   • ( \vec{OA} = (5, 2, 0) ),
   • ( \vec{OB} = (2, 5, 0) ),
   • ( \vec{OC} = (1, 2, 4) ).

2. Составим определитель:  \det \begin{vmatrix} 5 & 2 & 0 \ 2 & 5 & 0 \ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix}. 

3. Вычислим определитель:  \det = 5 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 0 \ 2 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \ 1 & 4 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 5 \ 1 & 2 \end{vmatrix}. 

4. Найдем миноры:

   • \begin{vmatrix} 5 & 0 \ 2 & 4 \end{vmatrix} = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 0) = 20,
   • \begin{vmatrix} 2 & 0 \ 1 & 4 \end{vmatrix} = (2 \cdot 4) - (1 \cdot 0) = 8.

5. Подставим значения:  \det = 5 \cdot 20 - 2 \cdot 8 + 0 = 100 - 16 = 84. 

6. Найдем объем пирамиды:  V = \frac{1}{6} \cdot |84| = 14. 

Ответ:

V = 14