В правильной четырехугольной пирамиде [MABCD] все ребра равны. Найти угол между прямыми [MA] и [AB]

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия, угол между плоскостями

Задача 12:
В правильной четырехугольной пирамиде [MABCD] все ребра равны. Найти угол между прямыми [MA] и [AB].

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду [MABCD], у которой основание — квадрат [ABCD], а все ребра равны, то есть:

MA = MB = MC = MD = AB = BC = CD = DA.

Нужно найти угол между прямыми MA и AB.

Шаг 1. Определение координат точек

Для удобства рассмотрим систему координат, в которой основание пирамиды — квадрат в плоскости XY, а вершина пирамиды — точка над плоскостью.

Пусть квадрат [ABCD] с длиной ребра a расположен так:

• A = (0, 0, 0)
• B = (a, 0, 0)
• C = (a, a, 0)
• D = (0, a, 0)

Вершина пирамиды M находится над центром квадрата, то есть:

• центр квадрата O = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0\right)

Поскольку все ребра равны, длина MA = a, нужно найти координату z вершины M = \left(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, h\right).

Шаг 2. Найдем высоту h

Расстояние от M до A равно a:

 MA = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + h^2} = a 

Раскроем скобки:

 \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + h^2} = a 

 \sqrt{\frac{a^2}{2} + h^2} = a 

Возведем в квадрат:

 \frac{a^2}{2} + h^2 = a^2 

Откуда:

 h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2} 

 h = \frac{a}{\sqrt{2}} 

Шаг 3. Найдем угол между прямыми MA и AB

Векторы:

 \vec{MA} = \vec{A} - \vec{M} = (0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{a}{2}, 0 - h) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right) 

 \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (a - 0, 0 - 0, 0 - 0) = (a, 0, 0) 

Шаг 4. Формула угла между векторами

Угол \theta между векторами \vec{u} и \vec{v} находится по формуле:

 \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} 

Шаг 5. Скалярное произведение и длины векторов

Скалярное произведение:

 \vec{MA} \cdot \vec{AB} = \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot a + \left(-\frac{a}{2}\right) \cdot 0 + \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) \cdot 0 = -\frac{a^2}{2} 

Длины векторов:

 |\vec{MA}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{2}\right)^2 + \left(-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{a^2} = a 

 |\vec{AB}| = \sqrt{a^2 + 0 + 0} = a 

Шаг 6. Найдем косинус угла

 \cos \theta = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a \cdot a} = -\frac{1}{2} 

Шаг 7. Найдем угол

 \theta = \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) = 120^\circ 

Ответ:

Угол между прямыми MA и AB равен 120^\circ.