Требуется найти большую диагональ параллелепипеда

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (многогранники, объемы и диагонали тел)

Дано:

• Основание прямого параллелепипеда — ромб.
• Диагонали ромба: [d_1 = 3] и [d_2 = 24].
• Высота параллелепипеда (перпендикуляр к основанию): [h = 20].
• Требуется найти большую диагональ параллелепипеда.

Шаг 1: Найдём сторону ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.

Пусть [d_1] и [d_2] — диагонали ромба. Тогда половины диагоналей:

 \frac{d_1}{2} = \frac{3}{2}, \quad \frac{d_2}{2} = \frac{24}{2} = 12 

Сторона ромба [a] находится по теореме Пифагора:

 a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 12^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 144} = \sqrt{\frac{9 + 576}{4}} = \sqrt{\frac{585}{4}} = \frac{\sqrt{585}}{2} 

Шаг 2: Найдём большую диагональ параллелепипеда

Так как параллелепипед прямой, его боковые рёбра перпендикулярны основанию. Тогда большая диагональ параллелепипеда — это пространственная диагональ, соединяющая противоположные вершины.

В прямом параллелепипеде с основанием в виде ромба и высотой [h] пространственная диагональ может быть найдена по теореме Пифагора в пространстве:

 D = \sqrt{a^2 + h^2} 

Подставим значения:

 a^2 = \left(\frac{\sqrt{585}}{2}\right)^2 = \frac{585}{4}, \quad h^2 = 400 

 D = \sqrt{\frac{585}{4} + 400} = \sqrt{\frac{585 + 1600}{4}} = \sqrt{\frac{2185}{4}} = \frac{\sqrt{2185}}{2} 

Ответ:

\boxed{\frac{\sqrt{2185}}{2}} — большая диагональ параллелепипеда (в точном виде).
Приблизительно:
\sqrt{2185} \approx 46.74 \Rightarrow \frac{46.74}{2} \approx 23.37

Ответ: примерно 23.37.