Построение пирамиды, нахождение объема пирамиды, площади грани, и высоты, опущенной на эту грань

Предмет: Математика (Стереометрия)

Задача состоит из нескольких шагов: построение пирамиды, нахождение объема пирамиды, площади грани \( ABC \), и высоты, опущенной на эту грань.

Дано:

Вершины пирамиды:

• \( O(0; 0; 0) \)
• \( A(5; 2; 0) \)
• \( B(2; 5; 0) \)
• \( C(1; 2; 4) \)

1. Вычисление объема пирамиды

Объем пирамиды можно найти по формуле:

\[ V = \frac{1}{6} \left| \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) \right| \],

где \( \vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC} \) — это векторы, проведенные из вершины \( O(0; 0; 0) \) к вершинам \( A(5; 2; 0) \), \( B(2; 5; 0) \) и \( C(1; 2; 4) \), соответственно.

1. Найдем координаты этих векторов:

   \[ \vec{OA} = (5; 2; 0) \]

   \[ \vec{OB} = (2; 5; 0) \]

   \[ \vec{OC} = (1; 2; 4) \]

2. Вычислим векторное произведение \( \vec{OB} \times \vec{OC} \):

   \[ \vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & 2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \]

   Это равно:

   \[ \hat{i} (5 \cdot 4 - 2 \cdot 0) - \hat{j} (2 \cdot 4 - 1 \cdot 0) + \hat{k} (2 \cdot 2 - 5 \cdot 1) = (20, -8, -1) \]

3. Найдем скалярное произведение \( \vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) \):

   \[ \vec{OA} \cdot (20; -8; -1) = 5 \cdot 20 + 2 \cdot (-8) + 0 \cdot (-1) = 100 - 16 + 0 = 84 \]

4. Находим объем:

   \[ V = \frac{1}{6} \left| 84 \right| = \frac{84}{6} = 14 \]

   Объем пирамиды \( V = 14 \) кубических единиц.

2. Площадь грани \( ABC \)

Площадь треугольника \( ABC \) можно найти через векторное произведение:

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| \]

1. Найдем вектора \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} = (2 - 5; 5 - 2; 0 - 0) = (-3; 3; 0) \]

   \[ \vec{AC} = (1 - 5; 2 - 2; 4 - 0) = (-4; 0; 4) \]

2. Найдем векторное произведение \( \vec{AB} \times \vec{AC} \):

   \[ \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 3 & 0 \\ -4 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i} \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -4 & 4 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} -3 & 3 \\ -4 & 0 \end{vmatrix} \]

   Это вычисляется как:

   \[ \hat{i} (3 \cdot 4 - 0 \cdot 0) - \hat{j} (-3 \cdot 4 - (-4) \cdot 0) + \hat{k} (-3 \cdot 0 - 3 \cdot (-4)) = (12, -12, 12) \]

   Модуль вектора:

   \[ |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{12^2 + (-12)^2 + 12^2} = \sqrt{144 + 144 + 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \]

3. Найдем площадь треугольника \( ABC \):

   \[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \times 12\sqrt{3} = 6\sqrt{3} \]

3. Высота пирамиды, опущенная на грань \( ABC \)

Высоту пирамиды \( h \), опущенную на грань \( ABC \), найдем по формуле для объема пирамиды:

\[ V = \frac{1}{3} S_{\triangle ABC} \cdot h \]

Подставляя известные значения:

\[ 14 = \frac{1}{3} \times 6\sqrt{3} \times h \]

Найдем \( h \):

\[ h = \frac{14 \times 3}{6\sqrt{3}} = \frac{42}{6\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \]

Ответ:

• Объем пирамиды: \( V = 14 \)
• Площадь грани \( ABC \): \( 6\sqrt{3} \)
• Высота пирамиды на грани \( ABC \): \( h = \frac{7\sqrt{3}}{3} \)

Итак, высота пирамиды \( h = \frac{7\sqrt{3}}{3} \) единиц.