Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
основание пирамиды квадрат, одно боковое ребро перпендикулярно основанию. Боковая грань , не проходящая через высоту пирамиды наклонена к основанию под углом 45 градусов. Наибольшее боковое ребро равно 96.Найти высоту пирамиды и площадь боковой поверхности. С чертежом
Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (геометрические тела, пирамиды, углы между прямыми и плоскостями)
Пусть пирамида — это ( SABC ), где основание — квадрат ( ABCD ), а вершина пирамиды — точка ( S ).
Пусть точка ( O ) — центр квадрата ( ABCD ).
Проведем высоту ( SO ), которая перпендикулярна основанию.
Пусть боковое ребро ( SC ) (или любое другое) — перпендикулярно основанию. Значит, ( SC \perp ABCD ), и это и есть высота пирамиды.
Предположим, боковая грань ( SAB ) наклонена к основанию под углом 45°, и она не содержит высоту ( SO ).
Наибольшее боковое ребро равно 96. Это значит, что длина ребра ( SA = 96 ), и это и есть наклонённое ребро, которое образует угол 45° с основанием.
Вот схема пирамиды:
S
/|\
/ | \
/ | \
A———O———B
| |
D CУгол между плоскостью боковой грани и основанием — это угол между высотой, опущенной из вершины на основание грани, и основанием.
В треугольнике ( SAB ) проведем высоту из ( S ) на сторону ( AB ), пусть это точка ( H ).
Тогда угол между плоскостью ( SAB ) и основанием ( ABCD ) — это угол между ( SH ) и ( AB ), и он равен 45°.
Рассмотрим треугольник ( SAB ).
Пусть ( AB = a ) — сторона квадрата.
Проведем из точки ( S ) перпендикуляр ( SH ) на сторону ( AB ), и он образует угол 45° с основанием.
В треугольнике ( SAB ):
Тогда из треугольника ( SHA ) по определению косинуса:
\cos(45^\circ) = \frac{AH}{SA}
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{AH}{96} \Rightarrow AH = \frac{96}{\sqrt{2}} = 96 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 48\sqrt{2}
Теперь найдём координаты точки ( O ), центра квадрата. Если сторона квадрата ( a ), то координаты точек:
Тогда длина вектора ( SA ):
SA^2 = \left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 + h^2 = 96^2
\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + h^2 = 9216 \Rightarrow \frac{a^2}{2} + h^2 = 9216
А из треугольника ( SHA ):
SH^2 + AH^2 = SA^2 \Rightarrow SH^2 + (48\sqrt{2})^2 = 96^2
SH^2 + 4608 = 9216 \Rightarrow SH^2 = 4608 \Rightarrow SH = \sqrt{4608} = 48\sqrt{2}
Но это противоречит: мы получили, что ( SH = AH = 48\sqrt{2} ), значит треугольник равнобедренный, и угол между ( SH ) и ( AB ) — 45°, всё верно.
Теперь найдём высоту пирамиды ( SO ). В треугольнике ( SAO ):
Из треугольника ( SAO ):
SO^2 = SA^2 - AO^2 = 96^2 - \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)^2 = 9216 - \frac{a^2}{2}
И мы ранее получили:
\frac{a^2}{2} + h^2 = 9216 \Rightarrow h^2 = 9216 - \frac{a^2}{2}
Значит, высота пирамиды:
h = \sqrt{9216 - \frac{a^2}{2}}
Но у нас есть ещё одно уравнение: ( AH = 48\sqrt{2} ), и ( AH = a ), так как ( AB = a ), а ( H ) — середина ( AB ).
Значит:
a = 96\sqrt{2}
Теперь подставим в формулу для высоты:
h = \sqrt{9216 - \frac{(96\sqrt{2})^2}{2}} = \sqrt{9216 - \frac{18432}{2}} = \sqrt{9216 - 9216} = 0
Противоречие! Значит, ( AH \neq a ), а ( AH = \frac{a}{2} ), так как ( H ) — середина ( AB )
Тогда:
AH = \frac{a}{2} = 48\sqrt{2} \Rightarrow a = 96\sqrt{2}
Теперь всё правильно!
SO^2 = 96^2 - \left( \frac{96\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \right)^2 = 9216 - 96^2 = 0
Опять ноль. Значит, ошибка в логике. Лучше использовать координаты.
В треугольнике ( SAO ):
Тогда:
SA^2 = AO^2 + SO^2 \Rightarrow 96^2 = \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right)^2 + h^2 = \frac{x^2}{2} + h^2
\Rightarrow \frac{x^2}{2} + h^2 = 9216 \quad \text{(1)}
Из треугольника ( SHA ), где ( SA = 96 ), ( AH = \frac{x}{2} ), угол между ( SA ) и ( AB ) — 45°:
\cos(45^\circ) = \frac{AH}{SA} = \frac{x}{2 \cdot 96} = \frac{x}{192}
\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{x}{192} \Rightarrow x = \frac{192}{\sqrt{2}} = 96\sqrt{2}
Теперь найдём высоту:
h^2 = 9216 - \frac{(96\sqrt{2})^2}{2} = 9216 - \frac{18432}{2} = 9216 - 9216 = 0
Опять ноль. Значит, ошибка в построении. Всё-таки правильнее считать, что угол между гранью и основанием — это угол между нормалями.
Пусть высота пирамиды — ( h ), а сторона основания — ( a ).
Рассмотрим треугольник, образованный высотой ( h ), апофемой (высотой боковой грани) ( l ), и половиной стороны основания ( \frac{a}{2} ).
Из условия: угол между боковой гранью и основанием — 45°, значит:
\tan(45^\circ) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \Rightarrow 1 = \frac{2h}{a} \Rightarrow a = 2h
Теперь, по теореме Пифагора:
l^2 = h^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = h^2 + \left( \frac{h}{1} \right)^2 = h^2 + h^2 = 2h^2
А по условию: наибольшее боковое ребро — ( l = 96 ), тогда:
l = \sqrt{2}h = 96 \Rightarrow h = \frac{96}{\sqrt{2}} = 48\sqrt{2}
Боковая поверхность состоит из 4 треугольников. Два из них — равнобедренные с боковыми рёбрами ( l = 96 ), основание ( a = 96\sqrt{2} ), и высотой ( h = 48\sqrt{2} ). Апофема (высота боковой грани) — ( l ).
Площадь одной боковой грани:
S_{\text{бок. грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l_{\text{апофема}} = \frac{1}{2} \cdot 96\sqrt{2} \cdot 96 = 4608\sqrt{2}
Таких граней 4, значит:
S_{\text{бок}} = 4 \cdot 4608\sqrt{2} = 18432\sqrt{2}
Если нужно, я могу построить чертёж.