Найти угол между плоскостями MAF и MCD

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия, угол между плоскостями

Дано:

• правильная шестиугольная пирамида MA BCDEF
• сторона основания равна 1
• боковые ребра равны 2
• нужно найти угол между плоскостями MAF и MCD

Шаг 1. Определение координат точек

Рассмотрим правильный шестиугольник с центром в начале координат O(0,0,0) и сторону a=1.
Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен стороне, то есть R=1.

Координаты вершин основания (на плоскости z=0):

• A(1,0,0)
• B\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)
• C\left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)
• D(-1,0,0)
• E\left(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)
• F\left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)

Шаг 2. Координаты вершины пирамиды M

Боковые ребра равны 2, значит расстояние от вершины M до любой вершины основания равно 2.
Обозначим высоту пирамиды h. Тогда
MA = MB = \dots = MF = 2

Так как основание лежит в плоскости z=0, то вершина M будет иметь координаты:
M(0,0,h)

Расстояние от M до A(1,0,0):
MA = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{1 + h^2} = 2

Отсюда:
1 + h^2 = 4 \Rightarrow h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}

Таким образом,
M(0,0,\sqrt{3})

Шаг 3. Векторы, лежащие в плоскостях

Плоскость MAF образуют точки M, A, F. Найдём два вектора в этой плоскости:
\vec{MA} = A - M = (1,0,0) - (0,0,\sqrt{3}) = (1,0,-\sqrt{3})
\vec{MF} = F - M = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) - (0,0,\sqrt{3}) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right)

Плоскость MCD образуют точки M, C, D. Векторы:
\vec{MC} = C - M = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) - (0,0,\sqrt{3}) = \left(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\sqrt{3}\right)
\vec{MD} = D - M = (-1,0,0) - (0,0,\sqrt{3}) = (-1,0,-\sqrt{3})

Шаг 4. Нормали к плоскостям

Нормаль к плоскости находится как векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости.

Для плоскости MAF:
\vec{n}_1 = \vec{MA} \times \vec{MF}

Вычислим:
 \vec{n}_1 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 0 & -\sqrt{3} \ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(0 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) - \mathbf{j} \left(1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}\right) + \mathbf{k} \left(1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 \cdot \frac{1}{2}\right) \end{formula> Посчитаем по частям: - для \mathbf{i}: 0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}

• для \mathbf{j}: 1 \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2} = -\sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
• для \mathbf{k}: 1 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 = -\frac{\sqrt{3}}{2}

Итого:
\vec{n}_1 = \left(-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Для плоскости MCD:
\vec{n}_2 = \vec{MC} \times \vec{MD}

Вычислим:
 \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\sqrt{3} \ -1 & 0 & -\sqrt{3} \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot 0\right) - \mathbf{j} \left(-\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-1)\right) + \mathbf{k} \left(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1)\right) \end{formula> Считаем: - для \mathbf{i}: \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - 0 = -\frac{3}{2}

• для \mathbf{j}:  -\frac{1}{2} \cdot (-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3}) \cdot (-1) = \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}
• для \mathbf{k}: 0 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}

Итого:
\vec{n}_2 = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)

Шаг 5. Угол между плоскостями

Угол между плоскостями равен углу между их нормалями:
\cos \theta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| \cdot |\vec{n}_2|}

Скалярное произведение:
 \vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = \left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{9}{4} - \frac{3}{4} - \frac{3}{4} = \frac{9}{4} - \frac{6}{4} = \frac{3}{4} 

Величины нормалей:
 |\vec{n}_1| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2} 

 |\vec{n}_2| = \sqrt{\left(-\frac{3}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{15}}{2} 

Шаг 6. Итог

 \cos \theta = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{2} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{15}{4}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{15} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} 

Таким образом,
\theta = \arccos \frac{1}{5}

Ответ:

Угол между плоскостями MAF и MCD равен \arccos \frac{1}{5}.