Найти S abc, V abcd

Предмет: Стереометрия
Раздел: Площадь и объем многогранников

Дано:
Координаты вершин пирамиды:

• A(3; -8; -7)
• B(4; -6; 2)
• C(-3; 5; 1)
• D(1; 1; 4)

1. Найдем площадь треугольника ABC

Площадь треугольника можно найти через векторное произведение двух его сторон:

1. Найдем векторы AB и AC:
    \overrightarrow{AB} = (4 - 3, -6 + 8, 2 + 7) = (1, 2, 9) 
    \overrightarrow{AC} = (-3 - 3, 5 + 8, 1 + 7) = (-6, 13, 8) 

2. Вычислим векторное произведение  \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} :

    \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 1 & 2 & 9 \ -6 & 13 & 8 \end{vmatrix} 

   Разложим определитель:
    \mathbf{i} (2 \cdot 8 - 9 \cdot 13) - \mathbf{j} (1 \cdot 8 - 9 \cdot (-6)) + \mathbf{k} (1 \cdot 13 - 2 \cdot (-6)) 

    = \mathbf{i} (16 - 117) - \mathbf{j} (8 + 54) + \mathbf{k} (13 + 12) 

    = \mathbf{i} (-101) - \mathbf{j} (62) + \mathbf{k} (25) 

   То есть,  \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (-101, -62, 25) .

3. Найдем его модуль:
    |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-101)^2 + (-62)^2 + 25^2} 

    = \sqrt{10201 + 3844 + 625} = \sqrt{14670} 

4. Площадь треугольника ABC:
    S_{ABC} = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{14670} 

2. Найдем объем пирамиды ABCD

Объем пирамиды выражается через смешанное произведение трех векторов:

 V = \frac{1}{6} \left| \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) \right| 

1. Найдем вектор  \overrightarrow{AD} :
    \overrightarrow{AD} = (1 - 3, 1 + 8, 4 + 7) = (-2, 9, 11) 

2. Вычислим  \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} :

    \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -6 & 13 & 8 \ -2 & 9 & 11 \end{vmatrix} 

   Разложим определитель:
    \mathbf{i} (13 \cdot 11 - 8 \cdot 9) - \mathbf{j} (-6 \cdot 11 - 8 \cdot (-2)) + \mathbf{k} (-6 \cdot 9 - 13 \cdot (-2)) 

    = \mathbf{i} (143 - 72) - \mathbf{j} (-66 + 16) + \mathbf{k} (-54 + 26) 

    = \mathbf{i} (71) - \mathbf{j} (-50) + \mathbf{k} (-28) 

    = (71, 50, -28) 

3. Вычислим скалярное произведение  \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AD}) :

    (1, 2, 9) \cdot (71, 50, -28) = 1 \cdot 71 + 2 \cdot 50 + 9 \cdot (-28) 

    = 71 + 100 - 252 = -81 

4. Найдем объем пирамиды:
    V_{ABCD} = \frac{1}{6} | -81 | = \frac{81}{6} = 13.5 

Ответ:

 S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{14670} 
 V_{ABCD} = 13.5