Найти расстояние от вершины конуса до плоскости

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия, объемы тел

Условие задачи:

Дан конус высотой 18. Нужно найти расстояние от вершины конуса до плоскости, параллельной основанию, которая отсечёт от конуса усечённый конус с объёмом, равным \frac{26}{27} объёма исходного конуса.

Шаг 1: Обозначения

Пусть:

• H = 18 — высота исходного конуса.
• h — расстояние от вершины до сечения, которое нужно найти.
• V — объём исходного конуса.
• V_1 — объём меньшего конуса, который отсекается вершиной и сечением.
• V_{усеч} — объём усечённого конуса.

Из условия:

V_{усеч} = \frac{26}{27}V

А значит:

V_1 = V - V_{усеч} = V - \frac{26}{27}V = \frac{1}{27}V

Шаг 2: Свойства подобных тел

Если мы проводим сечение, параллельное основанию, то полученный меньший конус будет подобен исходному, а коэффициент подобия равен отношению высот:

\frac{h}{H} = \frac{h}{18}

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

\frac{V_1}{V} = \left(\frac{h}{18}\right)^3

Подставим известное значение:

\left(\frac{h}{18}\right)^3 = \frac{1}{27}

Извлечём кубический корень:

\frac{h}{18} = \frac{1}{3}

Отсюда:

h = \frac{18}{3} = 6

Ответ:

\boxed{6}

Плоскость нужно провести на расстоянии 6 от вершины конуса.