Найти радиус сферы, описанной около данной усечённой пирамиды

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (усечённые пирамиды и описанные сферы)

Разбор задачи:

Усечённая пирамида имеет два основания, которые являются правильными треугольниками. Стороны оснований равны:

• Сторона меньшего основания: [5\sqrt{3}] см,
• Сторона большего основания: [12\sqrt{3}] см.

Высота усечённой пирамиды: [17] см.

Нужно найти радиус сферы, описанной около данной усечённой пирамиды.

Решение:

1. Центр описанной сферы

Центр сферы, описанной около усечённой пирамиды, лежит на прямой, соединяющей центры описанных окружностей оснований. Эта прямая совпадает с осью симметрии усечённой пирамиды. Нам нужно найти расстояние от центра сферы до любого из оснований, чтобы определить радиус сферы.

2. Радиусы описанных окружностей оснований

Для правильного треугольника радиус описанной окружности находится по формуле:

 R = \frac{a}{\sqrt{3}}, 

где [a] — сторона правильного треугольника.

• Для меньшего основания ([a_1 = 5\sqrt{3}]):  R_1 = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 5 \, \text{см}. 

• Для большего основания ([a_2 = 12\sqrt{3}]):  R_2 = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12 \, \text{см}. 

3. Центры оснований

Центры описанных окружностей оснований находятся в их геометрических центрах. Пусть высота пирамиды делится на две части: [h_1] — расстояние от центра меньшего основания до центра сферы, и [h_2] — расстояние от центра большего основания до центра сферы. Тогда:

 h_1 + h_2 = 17 \, \text{см}. 

4. Пропорциональность

Усечённая пирамида является подобием двух правильных пирамид. Это означает, что расстояния от центров оснований до центра сферы пропорциональны радиусам описанных окружностей оснований. То есть:

 \frac{h_1}{h_2} = \frac{R_1}{R_2} = \frac{5}{12}. 

Обозначим [h_1 = 5k] и [h_2 = 12k] (где [k] — коэффициент пропорциональности). Тогда:

 h_1 + h_2 = 17 \implies 5k + 12k = 17 \implies 17k = 17 \implies k = 1. 

Отсюда:

 h_1 = 5 \, \text{см}, \quad h_2 = 12 \, \text{см}. 

5. Радиус описанной сферы

Радиус описанной сферы равен расстоянию от центра сферы до центра любого из оснований плюс радиус описанной окружности этого основания. Например, для меньшего основания:

 R_{\text{сферы}} = h_1 + R_1 = 5 + 5 = 10 \, \text{см}. 

Ответ:

Радиус описанной сферы равен [10] см.