Найти площадь сечения, проходящего через диагонали трёх его граней

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (сечения многогранников)

Условие задачи:
Ребро куба равно 16. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали трёх его граней.

Шаг 1: Понимание задачи

Нам нужно найти площадь сечения куба, проходящего через диагонали трёх его граней. Обычно под этим понимается, что сечение проходит через диагонали трёх граней, которые имеют общую вершину. Такое сечение — это треугольник, вершины которого лежат на серединах противоположных рёбер трёх граней, сходящихся в одной вершине куба.

Шаг 2: Выбор удобной системы координат

Рассмотрим куб с длиной ребра 16. Разместим его в пространстве так, чтобы одна из вершин была в начале координат (0, 0, 0), а рёбра шли вдоль положительных направлений координатных осей.

Тогда вершины куба будут:

• A = (0, 0, 0)
• B = (16, 0, 0)
• C = (16, 16, 0)
• D = (0, 16, 0)
• A₁ = (0, 0, 16)
• B₁ = (16, 0, 16)
• C₁ = (16, 16, 16)
• D₁ = (0, 16, 16)

Грани, исходящие из вершины A:

• ABCD (нижняя грань)
• ABB₁A₁ (боковая грань)
• ADD₁A₁ (другая боковая грань)

Диагонали этих граней, проходящие через вершину A:

• Диагональ AC (в грани ABCD)
• Диагональ AB₁ (в грани ABB₁A₁)
• Диагональ AD₁ (в грани ADD₁A₁)

Таким образом, сечение проходит через точки C, B₁ и D₁.

Шаг 3: Найдём координаты точек

• C = (16, 16, 0)
• B₁ = (16, 0, 16)
• D₁ = (0, 16, 16)

Шаг 4: Найдём площадь треугольника по координатам

Площадь треугольника с вершинами в точках A, B и C можно найти по формуле:

 S = \frac{1}{2} \cdot \left| \vec{AB} \times \vec{AC} \right| 

Возьмём:

• A = C = (16, 16, 0)
• B = B₁ = (16, 0, 16)
• C = D₁ = (0, 16, 16)

Векторы:

• \vec{CB₁} = B₁ - C = (16, 0, 16) - (16, 16, 0) = (0, -16, 16)
• \vec{CD₁} = D₁ - C = (0, 16, 16) - (16, 16, 0) = (-16, 0, 16)

Вычислим векторное произведение:

 \vec{CB₁} \times \vec{CD₁} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ 0 & -16 & 16 \ -16 & 0 & 16 \ \end{vmatrix} 

Вычислим определитель:

 = \mathbf{i}((-16)(16) - (0)(16)) - \mathbf{j}((0)(16) - (-16)(-16)) + \mathbf{k}((0)(0) - (-16)(-16)) \ = \mathbf{i}(-256) - \mathbf{j}(-256) + \mathbf{k}(-256) \ = (-256, 256, -256) 

Теперь найдём длину этого вектора:

 |\vec{CB₁} \times \vec{CD₁}| = \sqrt{(-256)^2 + 256^2 + (-256)^2} = \sqrt{3 \cdot 256^2} = 256 \cdot \sqrt{3} 

Теперь площадь:

 S = \frac{1}{2} \cdot 256 \cdot \sqrt{3} = 128 \cdot \sqrt{3} 

Ответ:

128\sqrt{3} квадратных единиц.