Найти площадь полной поверхности конуса

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (тела вращения, конус)

Условие задачи:

1. Образующая конуса наклонена к основанию под углом 45°
2. В основание вписан треугольник, одна сторона которого равна 4, а противоположный угол — 60°
3. Требуется найти площадь полной поверхности конуса

Шаг 1: Понимание геометрии задачи

Образующая конуса — это отрезок от вершины конуса до любой точки на окружности основания. Если она наклонена к основанию под углом 45°, это значит, что угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.

Также сказано, что в основание вписан треугольник. Это означает, что основание — окружность, в которую вписан треугольник. Одна сторона треугольника равна 4, а угол, противоположный этой стороне, равен 60°.

Шаг 2: Найдём радиус основания

В окружность вписан треугольник со стороной 4 и углом 60°, противолежащим этой стороне.

Из теоремы синусов:  \frac{a}{\sin A} = 2R  где:

• a = 4 — сторона треугольника
• A = 60^\circ — угол, противолежащий этой стороне
• R — радиус описанной окружности, который в данном случае является радиусом основания конуса

Подставим:  \frac{4}{\sin 60^\circ} = 2R \Rightarrow R = \frac{4}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \frac{4}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} 

Шаг 3: Найдём высоту и образующую конуса

Образующая l наклонена к основанию под углом 45°. Это означает, что образующая, радиус и высота образуют прямоугольный треугольник, где угол между образующей и основанием — 45°.

Из этого треугольника:  \tan(45^\circ) = \frac{R}{h} \Rightarrow 1 = \frac{R}{h} \Rightarrow h = R 

Также, по теореме Пифагора, образующая:  l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} 

Подставим значение R = \frac{4\sqrt{3}}{3}:

 l = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{4\sqrt{6}}{3} 

Шаг 4: Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности:

 S = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = \pi R^2 + \pi R l 

Подставим:

1. R = \frac{4\sqrt{3}}{3}
2. l = \frac{4\sqrt{6}}{3}

Сначала найдём R^2:

 R^2 = \left(\frac{4\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{16 \cdot 3}{9} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3} 

Теперь подставим в формулу площади:

 S = \pi \cdot \frac{16}{3} + \pi \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} 

Посчитаем второе слагаемое:

 \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} = \frac{16\sqrt{18}}{9} = \frac{16 \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{48\sqrt{2}}{9} = \frac{16\sqrt{2}}{3} 

Теперь полная площадь:

 S = \pi \cdot \frac{16}{3} + \pi \cdot \frac{16\sqrt{2}}{3} = \frac{16\pi}{3}(1 + \sqrt{2}) 

Ответ:

 S = \frac{16\pi}{3}(1 + \sqrt{2})  — площадь полной поверхности конуса.