Найти объём пирамиды

Предмет: Математика
Раздел: Стереометрия

Для нахождения объема пирамиды используется формула, основанная на определителе. Объём пирамиды с вершинами в точках [A_1(x_1, y_1, z_1)], [A_2(x_2, y_2, z_2)], [A_3(x_3, y_3, z_3)] и [A_4(x_4, y_4, z_4)] можно вычислить по следующей формуле:

 V = \frac{1}{6} \left| \det \begin{vmatrix} x_2 - x_1 & y_2 - y_1 & z_2 - z_1 \ x_3 - x_1 & y_3 - y_1 & z_3 - z_1 \ x_4 - x_1 & y_4 - y_1 & z_4 - z_1 \end{vmatrix} \right| 

Шаг 1. Вычисление координат векторов

Для удобства выберем точку [A_1(0; -5; 1)] в качестве вершины пирамиды. Тогда векторы будут:

 \vec{A_1A_2} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (-2 - 0, 3 - (-5), 1 - 1) = (-2, 8, 0) 

 \vec{A_1A_3} = (x_3 - x_1, y_3 - y_1, z_3 - z_1) = (5 - 0, -3 - (-5), 4 - 1) = (5, 2, 3) 

 \vec{A_1A_4} = (x_4 - x_1, y_4 - y_1, z_4 - z_1) = (6 - 0, 0 - (-5), -6 - 1) = (6, 5, -7) 

Шаг 2. Составление матрицы

Подставим координаты векторов в определитель:

 \det \begin{vmatrix} -2 & 8 & 0 \ 5 & 2 & 3 \ 6 & 5 & -7 \end{vmatrix} 

Шаг 3. Вычисление определителя

Рассчитаем определитель по правилу Саррюса:

 \det = -2 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 5 & -7 \end{vmatrix} - 8 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 6 & -7 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} 5 & 2 \ 6 & 5 \end{vmatrix} 

Вычислим каждый минор:

1. \begin{vmatrix} 2 & 3 \ 5 & -7 \end{vmatrix} = (2)(-7) - (3)(5) = -14 - 15 = -29
2. \begin{vmatrix} 5 & 3 \ 6 & -7 \end{vmatrix} = (5)(-7) - (3)(6) = -35 - 18 = -53

Подставляем обратно:

 \det = -2 \cdot (-29) - 8 \cdot (-53) + 0 = 58 + 424 = 482 

Шаг 4. Вычисление объема

Теперь подставляем значение определителя в формулу объема:

 V = \frac{1}{6} \cdot |482| = \frac{482}{6} = 80.33 \, \text{(единиц объема)} 

Ответ:

Объем пирамиды равен 80.33 единиц объема.