Найти косинус угла между хордой и диаметром

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия, тела вращения, объемы тел

Условие задачи:

Имеется шар, образованный вращением полукруга вокруг диаметра.
Хорда, один конец которой совпадает с концом диаметра, вращается вокруг этого диаметра и образует поверхность, которая разбивает шар на две части.
Известно, что объем внутренней части относится к объему внешней как [1:4].
Требуется найти косинус угла между хордой и диаметром.

Шаг 1: Геометрическая модель

Пусть радиус шара равен [R].
Полукруг вращается вокруг диаметра, и в результате получается шар радиуса [R].
Рассмотрим хорду, один конец которой совпадает с концом диаметра (точка A), а другой — точка B — лежит на окружности.
Хорда вращается вокруг диаметра (оси), образуя коническую поверхность, которая делит шар на две части: внутреннюю и внешнюю.

Обозначим угол между хордой и диаметром как [\theta].
Нам нужно найти [\cos \theta], если объем внутренней части относится к внешней как [1:4].

Шаг 2: Объемы, образованные вращением

Хорда, вращаясь вокруг диаметра, образует конус, вершина которого в точке A (на конце диаметра), а основание — окружность, описанная точкой B при вращении.

Таким образом, внутренняя часть — это конус, а внешняя — остальная часть шара.

Пусть объем шара:

V_{\text{шар}} = \frac{4}{3} \pi R^3

Обозначим объем конуса как V_{\text{конус}}.
По условию:

\frac{V_{\text{конус}}}{V_{\text{шар}} - V_{\text{конус}}} = \frac{1}{4}

Решим это уравнение:

 \frac{V_{\text{конус}}}{\frac{4}{3} \pi R^3 - V_{\text{конус}}} = \frac{1}{4} 

Домножим обе части на знаменатель правой части:

 4V_{\text{конус}} = \frac{4}{3} \pi R^3 - V_{\text{конус}} 

Переносим все в одну сторону:

 4V_{\text{конус}} + V_{\text{конус}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \Rightarrow 5V_{\text{конус}} = \frac{4}{3} \pi R^3 

Отсюда:

 V_{\text{конус}} = \frac{4}{15} \pi R^3 

Шаг 3: Формула объема конуса

Объем конуса:

 V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h 

Где:

• [r] — радиус основания конуса
• [h] — его высота

В данной задаче:

• Хорда — образующая конуса
• Диаметр — ось вращения
• Угол между хордой и осью — [\theta]
• Длина хорды — [2R \sin \theta], так как она соединяет точку A и точку на окружности под углом [\theta]
• При вращении точка B описывает окружность радиуса [r = R \sin \theta]
• Высота конуса — [h = R \cos \theta]

Подставим в объем конуса:

 V_{\text{конус}} = \frac{1}{3} \pi (R \sin \theta)^2 (R \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi R^3 \sin^2 \theta \cos \theta 

Сравним с уже найденным объемом:

 \frac{1}{3} \pi R^3 \sin^2 \theta \cos \theta = \frac{4}{15} \pi R^3 

Сократим на [\pi R^3]:

 \frac{1}{3} \sin^2 \theta \cos \theta = \frac{4}{15} 

Умножим обе части на 3:

 \sin^2 \theta \cos \theta = \frac{4}{5} 

Шаг 4: Найти [\cos \theta]

Пусть [x = \cos \theta], тогда [\sin^2 \theta = 1 - x^2], подставим:

 (1 - x^2) x = \frac{4}{5} 

Получим кубическое уравнение:

 x - x^3 = \frac{4}{5} 

Умножим обе части на 5:

 5x - 5x^3 = 4 \Rightarrow 5x^3 - 5x + 4 = 0 

Решим уравнение:

 5x^3 - 5x + 4 = 0 

Попробуем рациональные корни. Пусть [x = 1]:

 5(1)^3 - 5(1) + 4 = 5 - 5 + 4 = 4 \neq 0 

Пусть [x = -1]:

 5(-1)^3 - 5(-1) + 4 = -5 + 5 + 4 = 4 \neq 0 

Пусть [x = -2]:

 5(-8) - 5(-2) + 4 = -40 + 10 + 4 = -26 

Попробуем [x = \frac{1}{2}]:

 5 \cdot \left( \frac{1}{8} \right) - 5 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) + 4 = \frac{5}{8} - \frac{5}{2} + 4 = \frac{5 - 20 + 32}{8} = \frac{17}{8} \neq 0 

Попробуем [x = \frac{4}{5}]:

 5 \cdot \left( \frac{64}{125} \right) - 5 \cdot \left( \frac{4}{5} \right) + 4 = \frac{320}{125} - 4 + 4 = \frac{320}{125} = \frac{64}{25} > 0 

Корень не рациональный. Найдём численно.

Решим уравнение:

 x - x^3 = \frac{4}{5} 

Функция:

 f(x) = x - x^3 - \frac{4}{5} 

Методом Ньютона или подбором находим, что:

 x \approx 0.737 

Следовательно:

 \cos \theta \approx 0.737 

Ответ:

\cos \theta \approx 0.737