Найти длину боковых рёбер пирамиды (то есть расстояние от вершины пирамиды до вершин основания)

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (геометрия в пространстве), свойства пирамид и ромбов

Условие задачи:

• Основание пирамиды — ромб со стороной 101.
• Одна из диагоналей ромба равна 198.
• Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба (центр ромба) и равна 110.
• Требуется найти длину боковых рёбер пирамиды (то есть расстояние от вершины пирамиды до вершин основания).

Шаг 1: Найдём вторую диагональ ромба

У ромба диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Обозначим:

• Первая диагональ: d_1 = 198
• Искомая вторая диагональ: d_2

Половины диагоналей:

• \frac{d_1}{2} = 99
• \frac{d_2}{2} — найдём через теорему Пифагора.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом, и каждая сторона ромба — гипотенуза прямоугольного треугольника, у которого катеты — половины диагоналей.

Используем теорему Пифагора:

 \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 101^2 

Подставим:

 99^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 101^2 

 9801 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10201 

 \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10201 - 9801 = 400 

 \frac{d_2}{2} = \sqrt{400} = 20 \quad \Rightarrow \quad d_2 = 40 

Шаг 2: Найдём координаты точек основания

Расположим основание ромба в плоскости z = 0. Центр ромба (точка пересечения диагоналей) — в начале координат: O(0, 0, 0).

Пусть одна диагональ (198) лежит вдоль оси x, а другая (40) вдоль оси y. Тогда вершины основания:

• A(-99, 0, 0)
• C(99, 0, 0) — по диагонали d_1
• B(0, 20, 0)
• D(0, -20, 0) — по диагонали d_2

Шаг 3: Найдём координаты вершины пирамиды

Вершина пирамиды S лежит на высоте 110 над центром основания, то есть:

S(0, 0, 110)

Шаг 4: Найдём длины боковых рёбер

Боковые рёбра — это расстояния от точки S(0, 0, 110) до каждой из вершин основания.

Используем формулу расстояния между двумя точками в пространстве:

 l = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} 

Пример: найдём длину ребра SA (от S(0, 0, 110) до A(-99, 0, 0))

 SA = \sqrt{(-99 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - 110)^2} = \sqrt{99^2 + 110^2} 

 = \sqrt{9801 + 12100} = \sqrt{21901} 

 \sqrt{21901} \approx 147.97 

Аналогично для остальных рёбер:

• SC: до точки (99, 0, 0) — тоже самое расстояние
• SB: до точки (0, 20, 0)

 SB = \sqrt{0^2 + 20^2 + 110^2} = \sqrt{400 + 12100} = \sqrt{12500} = 50\sqrt{5} \approx 111.80 

• SD: аналогично, тоже 50\sqrt{5}

Ответ:

Боковые рёбра пирамиды:

• SA = SC = \sqrt{21901} \approx 147.97
• SB = SD = 50\sqrt{5} \approx 111.80