Найдите расстояние от точки: а) A до плоскости б) от точки B до плоскости APD

Предмет: Геометрия
Раздел: Стереометрия (геометрия в пространстве), расстояния от точки до плоскости

Условие задачи:

Дана четырёхугольная пирамида PABCD, в основании которой лежит прямоугольник ABCD, и все боковые рёбра (PA, PB, PC, PD) равны 17.

Нужно найти:

а) расстояние от точки A до плоскости PBD
б) расстояние от точки B до плоскости APD

План решения:

1. Ввести координаты для удобства.
2. Найти векторное уравнение плоскости.
3. Использовать формулу расстояния от точки до плоскости.

Шаг 1: Введение координат

Пусть основание прямоугольник ABCD лежит в плоскости XY.
Выберем координаты:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, b, 0)
• D(0, b, 0)

(то есть, прямоугольник со сторонами a и b лежит в плоскости Z = 0)

Пусть точка P — вершина пирамиды, такая что:

• PA = PB = PC = PD = 17

Обозначим координаты точки P как (x, y, z).
Требуется, чтобы расстояние от P до всех вершин основания было одинаково и равно 17.

Шаг 2: Найдём координаты точки P

Запишем уравнение для расстояния от P(x, y, z) до точки A(0, 0, 0):

 PA = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = 17 

Аналогично, для PB:
 PB = \sqrt{(x - a)^2 + y^2 + z^2} = 17 

Изравняем квадраты расстояний:

 x^2 + y^2 + z^2 = (x - a)^2 + y^2 + z^2 

Сократим одинаковые слагаемые:

 x^2 = (x - a)^2 

Раскроем скобки:

 x^2 = x^2 - 2a x + a^2 

Сократим x^2:

 0 = -2a x + a^2 \Rightarrow x = \frac{a}{2} 

Аналогично, для PD и PA:

 x^2 + y^2 + z^2 = x^2 + (y - b)^2 + z^2 

Сократим:

 y^2 = (y - b)^2 

 y^2 = y^2 - 2b y + b^2 \Rightarrow y = \frac{b}{2} 

Теперь подставим x и y в уравнение расстояния:

 PA^2 = x^2 + y^2 + z^2 = 17^2 = 289 

 \left(\frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2}\right)^2 + z^2 = 289 

 \frac{a^2 + b^2}{4} + z^2 = 289 

Отсюда:

 z^2 = 289 - \frac{a^2 + b^2}{4} 

Шаг 3: Найдём расстояние от точки A до плоскости PBD

Плоскость проходит через точки P, B, D

Найдём векторы:

• PB = B - P = [a - \frac{a}{2}, 0 - \frac{b}{2}, 0 - z] = \left(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -z\right)
• PD = D - P = [0 - \frac{a}{2}, b - \frac{b}{2}, 0 - z] = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, -z\right)

Найдём векторное произведение этих векторов (нормаль к плоскости):

 \vec{n} = \vec{PB} \times \vec{PD} 

Вычислим определитель:

 \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{a}{2} & -\frac{b}{2} & -z \ -\frac{a}{2} & \frac{b}{2} & -z \ \end{vmatrix} 

Считаем:

• Коэффициент при i:  \left(-\frac{b}{2} \cdot (-z) - (-z \cdot \frac{b}{2})\right) = 0 

• Коэффициент при j:  -\left(\frac{a}{2} \cdot (-z) - (-z \cdot \frac{a}{2})\right) = 0 

• Коэффициент при k:  \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} - (-\frac{a}{2} \cdot -\frac{b}{2}) = 0 

Получается, что векторы PB и PD лежат в одной плоскости, но их векторное произведение = 0? Это невозможно — ошибка в вычислениях. Перепроверим.

На самом деле:

 \vec{PB} = \left(\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -z\right), \quad \vec{PD} = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, -z\right) 

Теперь пересчитаем:

• i-компонента:  (-\frac{b}{2})(-z) - (-z)(\frac{b}{2}) = \frac{bz}{2} - \frac{bz}{2} = 0 

• j-компонента:  - \left( \frac{a}{2} \cdot (-z) - (-\frac{a}{2} \cdot -z) \right) = - \left( -\frac{az}{2} - \frac{az}{2} \right) = az 

• k-компонента:  \frac{a}{2} \cdot \frac{b}{2} - (-\frac{a}{2} \cdot -\frac{b}{2}) = \frac{ab}{4} - \frac{ab}{4} = 0 

Итак, нормаль к плоскости:

 \vec{n} = (0, az, 0) 

Значит, уравнение плоскости PBD:

 az(y - y_0) = 0 

где (x_0, y_0, z_0) — любая точка на плоскости, например точка P:
(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, z)

Тогда уравнение плоскости:

 y - \frac{b}{2} = 0 \Rightarrow y = \frac{b}{2} 

Значит, плоскость PBD — это вертикальная плоскость, проходящая через середину стороны AD и BC.

Теперь расстояние от точки A(0, 0, 0) до этой плоскости:

 \rho = \left|0 - \frac{b}{2} \right| = \frac{b}{2} 

Ответ на пункт а):

 \boxed{\frac{b}{2}} 

Пункт б): расстояние от точки B до плоскости APD

Аналогично:

Найдём векторы:

• PA = A - P = (0 - \frac{a}{2}, 0 - \frac{b}{2}, 0 - z) = \left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -z\right)
• PD = D - P = (0 - \frac{a}{2}, b - \frac{b}{2}, 0 - z) = \left(-\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, -z\right)

Векторное произведение:

 \vec{n} = \vec{PA} \times \vec{PD} 

Определитель:

 \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ -\frac{a}{2} & -\frac{b}{2} & -z \ -\frac{a}{2} & \frac{b}{2} & -z \ \end{vmatrix} 

• i-компонент:  (-\frac{b}{2})(-z) - (\frac{b}{2})(-z) = \frac{bz}{2} + \frac{bz}{2} = bz 

• j-компонент:  - \left( -\frac{a}{2} \cdot (-z) - (-\frac{a}{2} \cdot -z) \right) = - ( \frac{az}{2} - \frac{az}{2} ) = 0 

• k-компонент:  (-\frac{a}{2})(\frac{b}{2}) - (-\frac{a}{2})(-\frac{b}{2}) = -\frac{ab}{4} - \frac{ab}{4} = -\frac{ab}{2} 

Итак, нормаль:

 \vec{n} = (bz, 0, -\frac{ab}{2}) 

Уравнение плоскости через точку P:

 bz(x - \frac{a}{2}) + 0(y - \frac{b}{2}) - \frac{ab}{2}(z - z) = 0 

 bz(x - \frac{a}{2}) = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{2} 

То есть, плоскость APD — вертикальная плоскость x = \frac{a}{2}

Теперь расстояние от точки B(a, 0, 0) до этой плоскости:

 \rho = \left|a - \frac{a}{2}\right| = \frac{a}{2} 

Ответ на пункт б):

 \boxed{\frac{a}{2}} 

Финальный ответ:

а) \frac{b}{2}
б) \frac{a}{2}