Задача на равномерное распределение непрерывных случайных величин

Это задание относится к предмету «Теория вероятностей и математическая статистика», а конкретно к разделу, связанному с непрерывными случайными величинами и их распределениями, в данном случае - равномерным распределением.

Решение

а) Найти вероятность события \(0 < X < 0,5\)

Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([0; 2]\). Плотность вероятности для равномерного распределения на этом отрезке задается функцией: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a} = \frac{1}{2-0} = \frac{1}{2}, & x \in [0, 2] \\ 0, & \text{в остальных случаях} \end{cases} \] График плотности вероятности \(f(x)\) выглядит как горизонтальная линия на участке \([0, 2]\), с высотой \(\frac{1}{2}\). Чтобы найти вероятность события \(0 < X < 0,5\), нужно вычислить интеграл от плотности вероятности на этом интервале: \[ P(0 < X < 0,5) = \int_{0}^{0,5} f(x) \, dx = \int_{0}^{0,5} \frac{1}{2} \, dx \] Выполним интегрирование: \[ P(0 < X < 0,5) = \frac{1}{2} \int_{0}^{0,5} dx = \frac{1}{2} [ x ]_{0}^{0,5} = \frac{1}{2} (0,5 - 0) = \frac{1}{2} \cdot 0,5 = 0,25 \] Таким образом, вероятность события \(0 < X < 0,5\) равна \(0,25\).

б) Построить графики функций \(f(x)\) и \(F(x)\)

Плотность вероятности \(f(x)\) уже обсуждалась, она равна \(\frac{1}{2}\) на интервале \([0, 2]\). Теперь построим график функции распределения \(F(x)\): Функция распределения \(F(x)\) для равномерного распределения определяется как: \[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt \] В нашем случае \(f(x) = \frac{1}{2}\) на \([0, 2]\), и \(f(x) = 0\) вне этого отрезка: 1. Для \(x < 0\): \(F(x) = 0\) 2. Для \(0 \le x \le 2\): \[ F(x) = \int_{0}^{x} \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} x \] 3. Для \(x > 2\): \(F(x) = 1\) Итак, \(F(x)\) имеет вид: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \frac{1}{2} x, & 0 \le x \le 2 \\ 1, & x > 2 \end{cases} \]

График функции \(f(x)\)

- На интервале \([0, 2]\) \(f(x) = \frac{1}{2}\), то есть это горизонтальная линия на уровне \( \frac{1}{2} \). - Вне этого интервала \(f(x) = 0\).

График функции \(F(x)\)

- При \(x < 0\) \(F(x) = 0\). - На интервале \([0, 2]\) функция \(F(x)\) линейно возрастает от 0 до 1 с углом наклона \( \frac{1}{2} \), то есть это прямая линия вида \( \frac{1}{2} x \). - При \(x > 2\) \(F(x) = 1\). Графически это выглядит следующим образом:

График функции \(f(x)\)

\[ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = left, xlabel = \(x\), ylabel = \(f(x)\), ymin=0, ymax=1, xmin=-1, xmax=3 ] \addplot[domain=0:2, line width=1pt, color=blue] {0.5}; \addplot[domain=-1:0, line width=1pt, color=blue] {0}; \addplot[domain=2:3, line width=1pt, color=blue] {0}; \end{axis} \end{tikzpicture} \]

График функции \(F(x)\)

\[ \begin{tikzpicture} \begin{axis}[ axis lines = left, xlabel = \(x\), ylabel = \(F(x)\), ymin=0, ymax=1.2, xmin=-1, xmax=3 ] \addplot[domain=-1:0, line width=1pt, color=red] {0}; \addplot[domain=0:2, line width=1pt, color=red] {0.5*x}; \addplot[domain=2:3, line width=1pt, color=red] {1}; \end{axis} \end{tikzpicture} \] Таким образом, мы решили поставленную задачу и построили необходимые графики.