Вычислить определенный интеграл

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление". Основная цель - вычислить определенный интеграл. Давайте подробно разберем решение.

Задан определенный интеграл: \[ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x^2 + 7x} \] Для начала упростим интегральное выражение. Заметим, что \( x^2 + 7x \) можно разложить на множители: \[ x^2 + 7x = x(x + 7) \] Перепишем интеграл с учётом разложения на множители: \[ \int_{1}^{2} \frac{dx}{x(x + 7)} \] Теперь применим метод разложения на простые дроби: \[ \frac{1}{x(x + 7)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x + 7} \] Найдём коэффициенты A и B. Для этого решим систему уравнений: \[ 1 = A(x + 7) + Bx \] Подставив значения \( x = 0 \) и \( x = -7 \), получим:

1. При \( x = 0 \): \[ 1 = A(0 + 7) \implies A = \frac{1}{7} \]
2. При \( x = -7 \): \[ 1 = B(-7) \implies B = -\frac{1}{7} \]

Таким образом: \[ \frac{1}{x(x + 7)} = \frac{1}{7x} - \frac{1}{7(x + 7)} \] Подставим это в исходный интеграл: \[ \int_{1}^{2} \left( \frac{1}{7x} - \frac{1}{7(x + 7)} \right) dx \] Теперь можно разложить интеграл на два: \[ \frac{1}{7} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} - \frac{1}{7} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x + 7} \] Рассчитаем каждый интеграл по отдельности:

• \[ \frac{1}{7} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x} = \frac{1}{7} \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{7} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{7} \ln 2 \]
• \[ \frac{1}{7} \int_{1}^{2} \frac{dx}{x + 7} = \frac{1}{7} \left[ \ln|x + 7| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{7} (\ln 9 - \ln 8) = \frac{1}{7} \ln \frac{9}{8} \]

Теперь объединим результаты: \[ \frac{1}{7} \ln 2 - \frac{1}{7} \ln \frac{9}{8} = \frac{1}{7} \ln \left( \frac{2}{\frac{9}{8}} \right) = \frac{1}{7} \ln \left( \frac{2 \cdot 8}{9} \right) = \frac{1}{7} \ln \frac{16}{9} \] Таким образом, правильный ответ: \[ \frac{2}{7} \ln \frac{4}{3} \] Ответ: \(\boxed{\frac{2}{7} \ln \frac{4}{3}}\)