Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Давайте начнем разбор задания. Это задание относится к математической статистике, которая является разделом предмета математика. Здесь дано распределение вероятностей случайной величины \( X \), а нужно вычислить дисперсию \( D(X) \) двумя способами. Я все подробно объясню.
\[ X_i = \{1, 3, 5, 7, 9\} \]
\[ P_i = \{0.2, 0.1, 0.2, 0.3, 0.2\} \]
Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается по двум формулам:
Где:
Формула для математического ожидания: \[ M(X) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot X_i \]
Подставим данные: \[ M(X) = 0.2 \cdot 1 + 0.1 \cdot 3 + 0.2 \cdot 5 + 0.3 \cdot 7 + 0.2 \cdot 9 \]
Посчитаем поэтапно: \[ M(X) = 0.2 + 0.3 + 1.0 + 2.1 + 1.8 = 5.4 \]
Итак: \[ M(X) = 5.4 \]
Формула для \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot X_i^2 \]
Подставим данные: \[ M(X^2) = 0.2 \cdot 1^2 + 0.1 \cdot 3^2 + 0.2 \cdot 5^2 + 0.3 \cdot 7^2 + 0.2 \cdot 9^2 \]
Вычислим квадраты: \[ M(X^2) = 0.2 \cdot 1 + 0.1 \cdot 9 + 0.2 \cdot 25 + 0.3 \cdot 49 + 0.2 \cdot 81 \]
Посчитаем поэтапно: \[ M(X^2) = 0.2 + 0.9 + 5.0 + 14.7 + 16.2 = 37.0 \]
Итак: \[ M(X^2) = 37.0 \]
Используем формулу: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]
Подставим значения: \[ D(X) = 37.0 - (5.4)^2 \]
Вычислим квадрат \( M(X) \): \[ (5.4)^2 = 29.16 \]
Подставим: \[ D(X) = 37.0 - 29.16 = 7.84 \]
Итак: \[ D(X) = 7.84 \]
Формула: \[ D(X) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot (X_i - M(X))^2 \]
Сначала найдем отклонения \( (X_i - M(X))^2 \) для каждого \( i \):
\[ X_1 = 1, \; (1 - 5.4)^2 = (-4.4)^2 = 19.36 \]
\[ X_2 = 3, \; (3 - 5.4)^2 = (-2.4)^2 = 5.76 \]
\[ X_3 = 5, \; (5 - 5.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16 \]
\[ X_4 = 7, \; (7 - 5.4)^2 = (1.6)^2 = 2.56 \]
\[ X_5 = 9, \; (9 - 5.4)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \]
Теперь умножим каждое отклонение на соответствующую вероятность \( P_i \):
\[ D(X) = 0.2 \cdot 19.36 + 0.1 \cdot 5.76 + 0.2 \cdot 0.16 + 0.3 \cdot 2.56 + 0.2 \cdot 12.96 \]
Посчитаем поэтапно: \[ D(X) = 3.872 + 0.576 + 0.032 + 0.768 + 2.592 = 7.84 \]
Итак: \[ D(X) = 7.84 \]
Дисперсия случайной величины \( X \) вычислена двумя способами, и она равна: \[ D(X) = 7.84 \]