Вычислить дисперсию двумя способами

Давайте начнем разбор задания. Это задание относится к математической статистике, которая является разделом предмета математика. Здесь дано распределение вероятностей случайной величины \( X \), а нужно вычислить дисперсию \( D(X) \) двумя способами. Я все подробно объясню.


Дано:

\[ X_i = \{1, 3, 5, 7, 9\} \]

\[ P_i = \{0.2, 0.1, 0.2, 0.3, 0.2\} \]

Формулы:

Дисперсия \( D(X) \) рассчитывается по двум формулам:

  1. Первая формула: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

Где:

  • \( M(X) \): математическое ожидание.
  • \( M(X^2) \): математическое ожидание квадрата \( X \).
  1. Вторая формула (Эквивалентная, через определение дисперсии): \[ D(X) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot (X_i - M(X))^2 \]

Шаг 1. Найдем \( M(X) \) — математическое ожидание:

Формула для математического ожидания: \[ M(X) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot X_i \]

Подставим данные: \[ M(X) = 0.2 \cdot 1 + 0.1 \cdot 3 + 0.2 \cdot 5 + 0.3 \cdot 7 + 0.2 \cdot 9 \]

Посчитаем поэтапно: \[ M(X) = 0.2 + 0.3 + 1.0 + 2.1 + 1.8 = 5.4 \]

Итак: \[ M(X) = 5.4 \]


Шаг 2. Найдем \( M(X^2) \) — математическое ожидание квадрата:

Формула для \( M(X^2) \): \[ M(X^2) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot X_i^2 \]

Подставим данные: \[ M(X^2) = 0.2 \cdot 1^2 + 0.1 \cdot 3^2 + 0.2 \cdot 5^2 + 0.3 \cdot 7^2 + 0.2 \cdot 9^2 \]

Вычислим квадраты: \[ M(X^2) = 0.2 \cdot 1 + 0.1 \cdot 9 + 0.2 \cdot 25 + 0.3 \cdot 49 + 0.2 \cdot 81 \]

Посчитаем поэтапно: \[ M(X^2) = 0.2 + 0.9 + 5.0 + 14.7 + 16.2 = 37.0 \]

Итак: \[ M(X^2) = 37.0 \]


Шаг 3. Найдем \( D(X) \) по первой формуле:

Используем формулу: \[ D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \]

Подставим значения: \[ D(X) = 37.0 - (5.4)^2 \]

Вычислим квадрат \( M(X) \): \[ (5.4)^2 = 29.16 \]

Подставим: \[ D(X) = 37.0 - 29.16 = 7.84 \]

Итак: \[ D(X) = 7.84 \]


Шаг 4. Найдем \( D(X) \) по второй формуле:

Формула: \[ D(X) = \sum_{i=1}^n P_i \cdot (X_i - M(X))^2 \]

Сначала найдем отклонения \( (X_i - M(X))^2 \) для каждого \( i \):

\[ X_1 = 1, \; (1 - 5.4)^2 = (-4.4)^2 = 19.36 \]

\[ X_2 = 3, \; (3 - 5.4)^2 = (-2.4)^2 = 5.76 \]

\[ X_3 = 5, \; (5 - 5.4)^2 = (-0.4)^2 = 0.16 \]

\[ X_4 = 7, \; (7 - 5.4)^2 = (1.6)^2 = 2.56 \]

\[ X_5 = 9, \; (9 - 5.4)^2 = (3.6)^2 = 12.96 \]

Теперь умножим каждое отклонение на соответствующую вероятность \( P_i \):

\[ D(X) = 0.2 \cdot 19.36 + 0.1 \cdot 5.76 + 0.2 \cdot 0.16 + 0.3 \cdot 2.56 + 0.2 \cdot 12.96 \]

Посчитаем поэтапно: \[ D(X) = 3.872 + 0.576 + 0.032 + 0.768 + 2.592 = 7.84 \]

Итак: \[ D(X) = 7.84 \]


Ответ:

Дисперсия случайной величины \( X \) вычислена двумя способами, и она равна: \[ D(X) = 7.84 \]

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн