Вычисление определенного интеграла, применив метод подстановки

Этот пример относится к учебной дисциплине математики, а именно к разделу математического анализа, который изучает интегралы. Для вычисления данного определенного интеграла, применим метод подстановки. Итак, начнем. Нам нужно вычислить:

\[ \int_{0}^{\sqrt{e-1}} x \ln(x^2 + 1) \, dx \]

Сделаем подстановку \( u = x^2 + 1 \). Тогда \( du = 2x \, dx \), или \( dx = \frac{du}{2x} \). Границы интегрирования при этом изменяются:

• при \( x = 0 \), \( u = 0^2 + 1 = 1 \),
• при \( x = \sqrt{e-1} \), \( u = (\sqrt{e-1})^2 + 1 = e \).

Теперь перепишем интеграл в новых переменных:

\[ \int_{0}^{\sqrt{e-1}} x \ln(x^2 + 1) \, dx = \int_{1}^{e} \ln(u) \cdot \frac{1}{2} \, du \]

Вынесем константу \( \frac{1}{2} \) за знак интеграла:

\[ \frac{1}{2} \int_{1}^{e} \ln(u) \, du \]

Для интегрирования \( \ln(u) \) используем интеграл по частям. Напомним, что интеграл по частям для \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \). Пусть:

• \( v = \int 1 \, du = u \)
• \( du = \ln(u) \, du\)

Тогда:

\[ \int \ln(u) \, du = u \ln(u) - \int u \cdot \frac{1}{u} \, du = u \ln(u) - u + C \]

Вернемся к нашему интегралу:

\[ \frac{1}{2} \left[ u \ln(u) - u \right]_{1}^{e} \]

Подставляем границы интегрирования:

\[ \frac{1}{2} \left[ (e \ln(e) - e) - (1 \ln(1) - 1) \right] \]

Так как \( \ln(e) = 1 \) и \( \ln(1) = 0 \), то:

\[ = \frac{1}{2} \left[ (e \cdot 1 - e) - (1 \cdot 0 - 1) \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \left[ e - e + 1 \right] \]

\[ = \frac{1}{2} \cdot 1 \]

\[ = \frac{1}{2} \]

Таким образом, ответ: \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]