Вычисление определенного интеграла

Условие: Решить.Ответ числом

Для вычисления данного определенного интеграла $$\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} d x $$ , преобразуем его через замену переменной.

Сделаем замену $$u = \sqrt{x} $$ , тогда $$x = u^{2} $$ , и $$d x = 2 u d u $$ .
Изменим пределы интегрирования: если $$x = 0 $$ , то $$u = 0 $$ ; если $$x = 1 $$ , то $$u = 1 $$ . Теперь перепишем интеграл в новых переменных: $\[\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} d x = \int_{0}^{1} e^{u} \cdot 2 u d u . \]$
Вынесем константу: $\[2 \int_{0}^{1} u e^{u} d u . \]$
Используем метод интегрирования по частям для нахождения интеграла $$\int u e^{u} d u $$ : $\[\int u e^{u} d u = u e^{u} - \int e^{u} d u = u e^{u} - e^{u} + C . \]$
Не забудем, что интегрирование по определённым пределам даёт нам: $\[{[u e^{u} - e^{u}]}_{0}^{1} = (1 e^{1} - e^{1}) - (0 e^{0} - e^{0}) = (e - e) - (0 - 1) = 0 + 1 = 1. \]$ Следовательно: $\[2 \int_{0}^{1} u e^{u} d u = 2 \cdot 1 = 2. \]$

Таким образом, ответ: $\[2 . \]$

Время — это деньги!