Вычисление определенного интеграла

Этот пример по предмету математика, раздел - математический анализ, тема - определённые интегралы.

Для вычисления данного определенного интеграла \(\int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx\), преобразуем его через замену переменной.

1. Сделаем замену \(u = \sqrt{x}\), тогда \(x = u^2\), и \(dx = 2u \, du\).
2. Изменим пределы интегрирования: если \(x = 0\), то \(u = 0\); если \(x = 1\), то \(u = 1\). Теперь перепишем интеграл в новых переменных: \[ \int_{0}^{1} e^{\sqrt{x}} \, dx = \int_{0}^{1} e^u \cdot 2u \, du. \]
3. Вынесем константу: \[ 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du. \]
4. Используем метод интегрирования по частям для нахождения интеграла \(\int u e^u \, du\): \[ \int u e^u \, du = u e^u - \int e^u \, du = u e^u - e^u + C. \]
5. Не забудем, что интегрирование по определённым пределам даёт нам: \[ \left[ u e^u - e^u \right]_{0}^{1} = \left( 1 e^1 - e^1 \right) - \left( 0 e^0 - e^0 \right) = \left(e - e\right) - \left(0 - 1\right) = 0 + 1 = 1. \] Следовательно: \[ 2 \int_{0}^{1} u e^u \, du = 2 \cdot 1 = 2. \]

Таким образом, ответ: \[ \boxed{2}. \]