В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда.

Пример 1:

В результате эксперимента получены данные, записанные в виде статистического ряда. Требуется:

а) записать значения результатов экспериментов в виде вариационного ряда;

б) найти размах варьирования и разбить его на 9 интервалов;

в) построить полигон частот, гистограмму относительных частот и график эмпирической функции распределения;

г) найти числовые характеристики выборки ;

д) приняв в качестве нулевой гипотезу Н0: генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, имеет нормальное распределение, проверить ее, пользуясь критерием Пирсона при уровне значимости ;

е) найти доверительный интервал для математического ожидания при надежности

189

207

213

208

186

219

198

210

231

227

202

211

220

236

227

220

210

183

213

190

197

227

187

226

213

191

209

196

202

235

211

214

220

195

182

228

202

207

192

226

193

203

232

202

215

195

220

233

214

185

234

215

196

220

203

236

225

221

193

215

204

184

217

193

216

205

197

203

229

204

225

216

233

223

208

204

207

182

216

191

210

190

207

205

232

222

198

217

211

201

185

217

225

201

208

211

189

205

207

199

Решение от преподавателя:

1). Располагаем значение результатов эксперимента в порядке возрастания, т.е. записываем вариационный ряд:

182

182

183

184

185

185

186

187

189

189

190

190

191

191

192

193

193

193

195

195

196

196

197

197

198

198

199

201

201

202

202

202

202

203

203

203

204

204

204

205

205

205

207

207

207

207

207

208

208

208

209

210

210

210

211

211

211

211

213

213

214

214

215

215

215

216

216

216

217

217

217

219

220

220

220

220

220

221

223

225

225

225

226

226

227

227

227

228

229

231

232

232

232

233

233

234

235

236

236

243


2). Находим   размах   варьирования:   ω = xmax - xmin .

Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.

ω = xmax - xmin = 243 - 182 = 61

Объём выборки  n=100, тогда

Примем за h = 8,026.  Следовательно, разобьем наш вариационный ряд на 

Таблица 1.

Номер

частичного ин­тервала i

Границы

интервала

Середина интервала

Частота

интер­вала

Относитель­ная частота

Плотность относительной  частоты

1

182 – 186

184

7

0,07

0,009

2

186 - 192

189

8

0,08

0,001

3

192 - 198

195

11

0,11

0,014

4

198 - 204

201

13

0,13

0,016

5

204 - 210

207

15

0,15

0,019

6

210 – 216

213

14

0,14

0,017

7

216 – 223

219,5

11

0,11

0,014

8

223 – 231

227

11

0,11

0,014

9

231 - 243

237

10

0,10

0,012

 

–

100

–

 

Строим полигон частот – ломанную линию, отрезки которой соединяют точки  (рис. 1) и гистограмму относительных частот – ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которой служат частичные интервалы, длиною h, а высоты равны плотности относительной  частоты   (рис.2).

Найдем значения эмпирической функции распределения (функции распределения выборки) – функции, определяющей для каждого значения x относительную частоту события X < x. Итак, по определению,

где nx - число вариант, меньших x; n - объём выборки

Строим график эмпирической функции распределения (рис. 3).

 

4). Находим выборочное среднее: 

и выборочную дисперсию:   .

Для этого составляем расчетную таблицу (табл. 2).

Таблица 2.

Границы

интервала

Середина интервала

Частота

интер­вала

1

182 – 186

184

7

1288

33856

236992

2

186 - 192

189

8

1512

35721

285768

3

192 - 198

195

11

2145

38025

418275

4

198 - 204

201

13

2613

40401

525213

5

204 - 210

207

15

3105

42849

642735

6

210 – 216

213

14

2982

45369

635166

7

216 – 223

219,5

11

2414,5

48180,25

529982,75

8

223 – 231

227

11

2497

51529

566819

9

231 - 243

237

10

2370

56169

561690

 

 

100

20926,5

 

4402640,75

Из нее получаем:

Несмещённой называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру  при любом объёме выборки.

Смещённой называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой гене­ральной дисперсии, а исправленная дисперсия - несмещенной оценкой:

Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где n*i - теоретические частоты:

Вычислим теоретические частоты, учитывая, что:
n = 100, h=1 (ширина интервала), σ = 14.791, xср = 209.47

i

xi

ui

φi

n*i

1

182

-1.8572

0,0707

0.478

2

183

-1.7896

0,0804

0.544

3

184

-1.722

0,0893

0.604

4

185

-1.6544

0,1006

0.68

5

186

-1.5868

0,1127

0.762

6

187

-1.5192

0,1257

0.85

7

189

-1.384

0,1518

1.026

8

190

-1.3164

0,1669

1.128

9

191

-1.2487

0,1826

1.235

10

192

-1.1811

0,1965

1.329

11

193

-1.1135

0,2131

1.441

12

195

-0.9783

0,2468

1.669

13

196

-0.9107

0,2613

1.767

14

197

-0.8431

0,278

1.88

15

198

-0.7755

0,2943

1.99

16

199

-0.7079

0,3101

2.097

17

201

-0.5727

0,3372

2.28

18

202

-0.505

0,3503

2.368

19

203

-0.4374

0,3621

2.448

20

204

-0.3698

0,3725

2.518

21

205

-0.3022

0,3802

2.571

22

207

-0.167

0,3932

2.658

23

208

-0.09939

0,397

2.684

24

209

-0.03178

0,3986

2.695

25

210

0.03583

0,3986

2.695

26

211

0.1034

0,3965

2.681

27

213

0.2387

0,3876

2.621

28

214

0.3063

0,3802

2.571

29

215

0.3739

0,3712

2.51

30

216

0.4415

0,3605

2.437

31

217

0.5091

0,3503

2.368

32

219

0.6443

0,323

2.184

33

220

0.7119

0,3079

2.082

34

221

0.7795

0,2943

1.99

35

223

0.9148

0,2613

1.767

36

225

1.05

0,2299

1.554

37

226

1.1176

0,2131

1.441

38

227

1.1852

0,1965

1.329

39

228

1.2528

0,1804

1.22

40

229

1.3204

0,1647

1.114

41

231

1.4556

0,1374

0.929

42

232

1.5232

0,1238

0.837

43

233

1.5908

0,1109

0.75

44

234

1.6585

0,1006

0.68

45

235

1.7261

0,0893

0.604

46

236

1.7937

0,079

0.534

47

243

2.2669

0,0303

0.205


Сравним эмпирические и теоретические частоты. Составим расчетную таблицу, из которой найдем наблюдаемое значение критерия:

i

ni

n*i

ni-n*i

(ni-n*i)2

(ni-n*i)2/n*i

1

2

0.478

-1.522

2.3165

4.846

2

1

0.5436

-0.4564

0.2083

0.383

3

1

0.6038

-0.3962

0.157

0.26

4

2

0.6802

-1.3198

1.742

2.561

5

1

0.762

-0.238

0.05666

0.0744

6

1

0.8499

-0.1501

0.02255

0.0265

7

2

1.0263

-0.9737

0.9481

0.924

8

2

1.1284

-0.8716

0.7597

0.673

9

2

1.2345

-0.7655

0.5859

0.475

10

1

1.3285

0.3285

0.1079

0.0812

11

3

1.4408

-1.5592

2.4312

1.687

12

2

1.6686

-0.3314

0.1098

0.0658

13

2

1.7666

-0.2334

0.05446

0.0308

14

2

1.8795

-0.1205

0.01451

0.00772

15

2

1.9897

-0.01026

0.000105

5.3E-5

16

1

2.0966

1.0966

1.2025

0.574

17

2

2.2798

0.2798

0.07828

0.0343

18

4

2.3684

-1.6316

2.6623

1.124

19

3

2.4481

-0.5519

0.3046

0.124

20

3

2.5184

-0.4816

0.2319

0.0921

21

3

2.5705

-0.4295

0.1845

0.0718

22

5

2.6584

-2.3416

5.4831

2.063

23

3

2.6841

-0.3159

0.0998

0.0372

24

1

2.6949

1.6949

2.8727

1.066

25

3

2.6949

-0.3051

0.09308

0.0345

26

4

2.6807

-1.3193

1.7405

0.649

27

2

2.6205

0.6205

0.3851

0.147

28

2

2.5705

0.5705

0.3255

0.127

29

3

2.5097

-0.4903

0.2404

0.0958

30

3

2.4373

-0.5627

0.3166

0.13

31

3

2.3684

-0.6316

0.399

0.168

32

1

2.1838

1.1838

1.4013

0.642

33

5

2.0817

-2.9183

8.5165

4.091

34

1

1.9897

0.9897

0.9796

0.492

35

1

1.7666

0.7666

0.5877

0.333

36

3

1.5543

-1.4457

2.0899

1.345

37

2

1.4408

-0.5592

0.3128

0.217

38

3

1.3285

-1.6715

2.7938

2.103

39

1

1.2197

0.2197

0.04826

0.0396

40

1

1.1135

0.1135

0.01289

0.0116

41

1

0.929

-0.07105

0.00505

0.00543

42

3

0.837

-2.163

4.6786

5.59

43

2

0.7498

-1.2502

1.563

2.085

44

1

0.6802

-0.3198

0.1023

0.15

45

1

0.6038

-0.3962

0.157

0.26

46

2

0.5341

-1.4659

2.1488

4.023

47

1

0.2049

-0.7951

0.6323

3.086

∑

100

100

    

43.107

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.

Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям σ, k = 47, r=2 (параметры xcp и σ оценены по выборке).

Kkp(0.25;44) = 50.98495; Kнабл = 43.11

Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.

6). Если случайная величина X генеральной совокупности распределена нор­мально, то с надежностью можно утверждать, что математи­ческое ожидание a случайной величины X покрывается доверительным интервалом 

где –  точность оценки.

Значение  определяется из условия

В нашем случае:

Из прил.1 находим

Доверитель­ным интервалом для a будет (208,515; 210,025).

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн

Виды работ: