Составить закон распределения случайной величины X - числа выпадений герба

Это задание относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика". Раздел этого предмета - "Случайные величины и их распределения".

Чтобы составить закон распределения случайной величины \( X \), которая представляет собой число выпадений «герба» при подбрасывании две монеты три раза, нужно выполнить следующие шаги:

1. Определение возможных значений случайной величины \( X \): Сначала найдем все возможные исходы подбрасывания двух монет три раза. Так как каждая монета может выпасть гербом (Г) или решкой (Р), общее количество возможных исходов на один подброс двух монет равно \( 2 \times 2 = 4 \). Итак, возможные комбинации при каждом подбрасывании двух монет:
   1. ГГ
   2. ГР
   3. РГ
   4. РР
   Теперь рассмотрим все возможные комбинации для трех подбрасываний двух монет. Поскольку нам нужно учитывать результат всех трех подбрасываний, общее количество возможных комбинаций равно \( 4 \times 4 \times 4 = 64 \).
2. Подсчет числа выпадений «герба» \( X \) для каждого исхода: Каждый из 64 возможных исходов можно оценивать по количеству гербов.
   1. ГГ, ГГ, ГГ - 6 гербов
   2. ГГ, ГГ, ГР - 5 гербов (и так далее)
   Выполнять это вручную долго, поэтому упростим задачу. Мы вычислим числа гербов для каждого подброса 2 монет по отдельности, а затем для трех серий подбрасываний.
3. Построение распределения вероятностей: Обозначим \( X \) — число выпадений герба за три подбрасывания двух монет. Возможные значения \( X \) будут от 0 до 6 (от всех решек до всех гербов):
   • Вероятность выпадения 0 гербов (\( X = 0 \)): Необходимо, чтобы все 6 бросков дали результат "РР". Вероятность одного броска \( (РР) = (0.5 \times 0.5) = 0.25 \). Вероятность \( X = 0 \): \[ P(X = 0) = (0.25)^3 = 0.015625 \]
   • Вероятность выпадения 1 герба (\( X = 1 \)): Может быть либо одно «Г» и пять «Р» в одном из \(\binom{6}{1} = 6\) мест. Вероятность \( (ГР, РР…)\): Вероятность \( X = 1 \): \[ P(X = 1) = 6 \times (0.5)^6 \times (0.5) = 6 \times (0.015625) = 0.09375 \]
   • Вероятность выпадения 2 гербов (\( X = 2 \)) и так далее. Для \( k \) гербов в 6 подбрасываниях: \[ P(X = k) = \binom{6}{k} \times (0.5)^k \times (0.5)^{(6-k)} \] Используя биноминиальные коэффициенты \(\binom{6}{k}\): - \( P(X = 2) = \binom{6}{2} \times (0.5)^2 \times (0.5)^4 = \frac{6!}{2!(6-2)!} (0.015625) = 0.234375 \)
   И так далее для всех возможных \( k \).
4. Формулировка закона распределения. Случайная величина \( X \) принимает значения от 0 до 6. Таблица распределения будет такой: \[ \begin{array}{|c|c|} \hline X & P(X) \\ \hline 0 & 0.015625 \\ 1 & 0.09375 \\ 2 & 0.234375 \\ 3 & 0.3125 \\ 4 & 0.234375 \\ 5 & 0.09375 \\ 6 & 0.015625 \\ \hline \end{array} \] Эта таблица и является законом распределения случайной величины \( X \) числа выпадений герба при 3-х подбрасываниях двух монет.