Составить закон распределения случайной величины – числа готовых документов без ошибок, найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Законы распределения случайных величин.

Данное задание требует составления закона распределения для случайной величины \(X\) - числа готовых документов без ошибок, а также нахождения её математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Обозначим веротности получения безошибочного документа: \( P_1 = P(A_1) = 0.4 \) для первого сотрудника; \( P_2 = P(A_2) = 0.8 \) для второго сотрудника; \( P_3 = P(A_3) = 0.5 \) для третьего сотрудника. Случайная величина \(X\) - количество безошибочно выполненных документов может принимать значения: 0, 1, 2 или 3.

1. Найдем вероятность того, что ни один документ не сделан без ошибки (X=0):
   \[ P(X=0) = (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3) = (1 - 0.4) \cdot (1 - 0.8) \cdot (1 - 0.5) = 0.6 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 0.06. \]
2. Найдем вероятность того, что один документ сделан без ошибки (X=1):
   Это может произойти тремя способами:
   \[ P(X=1) = P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot (1 - P_3) + (1 - P_1) \cdot P_2 \cdot (1 - P_3) + (1 - P_1) \cdot (1 - P_2) \cdot P_3. \]
   \[ P(X=1) = 0.4 \cdot 0.2 \cdot 0.5 + 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.5 + 0.6 \cdot 0.2 \cdot 0.5 = 0.04 + 0.24 + 0.06 = 0.34. \]
3. Найдем вероятность того, что два документа сделаны без ошибки (X=2):
   Это также может произойти тремя способами:
   \[ P(X=2) = P_1 \cdot P_2 \cdot (1 - P_3) + P_1 \cdot (1 - P_2) \cdot P_3 + (1 - P_1) \cdot P_2 \cdot P_3. \]
   \[ P(X=2) = 0.4 \cdot 0.8 \cdot 0.5 + 0.4 \cdot 0.2 \cdot 0.5 + 0.6 \cdot 0.8 \cdot 0.5 = 0.16 + 0.04 + 0.24 = 0.44. \]
4. Найдем вероятность того, что все три документа сделаны без ошибки (X=3):
   \[ P(X=3) = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = 0.4 \cdot 0.8 \cdot 0.5 = 0.16. \]

Сводим все полученные вероятности в таблицу распределения:
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline X & P(X) \\ \hline 0 & 0.06 \\ 1 & 0.34 \\ 2 & 0.44 \\ 3 & 0.16 \\ \hline \end{array} \]

Теперь найдём математическое ожидание \(E(X)\):
\[ E(X) = \sum_{x=0}^{3} x \cdot P(X=x) = 0 \cdot 0.06 + 1 \cdot 0.34 + 2 \cdot 0.44 + 3 \cdot 0.16 = 0 + 0.34 + 0.88 + 0.48 = 1.7. \]

Дисперсия вычисляется по формуле:
\[ Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2. \]
Вначале найдём \(E(X^2)\):
\[ E(X^2) = \sum_{x=0}^{3} x^2 \cdot P(X=x) = 0^2 \cdot 0.06 + 1