Составить закон распределения случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел предмета: Случайные величины и их распределения

Рассмотрим двукратное подбрасывание монеты. Обозначим выпадение герба как \(H\) (англ. Heads) и выпадение решки как \(T\) (англ. Tails). Составим все возможные исходы эксперимента. При двукратном подбрасывании монеты возможны следующие комбинации исходов:

1. \(HH\) (двойное выпадение герба)
2. \(HT\) (первый раз выпадает герб, второй раз - решка)
3. \(TH\) (первый раз выпадает решка, второй раз - герб)
4. \(TT\) (двойное выпадение решки)

Теперь определим случайную величину \(X\), которая обозначает количество выпадений герба за два подбрасывания монеты. Для каждого из этих исходов можно определить значение случайной величины \(X\):

1. \(HH\): \(X = 2\)
2. \(HT\): \(X = 1\)
3. \(TH\): \(X = 1\)
4. \(TT\): \(X = 0\)

Составим закон распределения случайной величины \(X\):

1. \(P(X = 0)\): вероятность того, что герб не выпадает ни разу.
2. \(P(X = 1)\): вероятность того, что герб выпадает один раз.
3. \(P(X = 2)\): вероятность того, что герб выпадает два раза.

Так как монета симметричная и вероятность выпадения каждого события равна \(\frac{1}{2}\), все исходы равновероятны. Их вероятность равна:

\[ P(HH) = P(HT) = P(TH) = P(TT) = \frac{1}{4} \]

Для нахождения \(P(X = 0)\): Возможен только один исход \(TT\):

\[ P(X = 0) = P(TT) = \frac{1}{4} \]

Для нахождения \(P(X = 1)\): Возможны исходы \(HT\) и \(TH\):

\[ P(X = 1) = P(HT) + P(TH) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]

Для нахождения \(P(X = 2)\): Возможен только один исход \(HH\):

\[ P(X = 2) = P(HH) = \frac{1}{4} \]

Составим сводную таблицу закона распределения случайной величины \(X\):

Таким образом, закон распределения случайной величины \(X\) (числа выпадений герба при двукратном подбрасывании монеты) выражается следующей таблицей:

\[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline 0 & \frac{1}{4} \\ 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{1}{4} \\ \end{array} \]