Сделать вывод о характере распределения

Предмет данного задания — математика, его область — математическая статистика.

1. Найдём среднее арифметическое \( \overline{X} \)

У нас дана выборочная совокупность величины \( X \), причём для каждого элемента выборки \( X_i \) известна частота их появления \( l_i \). Формула для среднего арифметического по дискретной выборке с частотами будет следующей:

\[ \overline{X} = \frac{\sum X_i \cdot l_i}{\sum l_i} \]

Посчитаем необходимые значения:

• \( X_i = 1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0, 11.0 \)
• \( l_i = 4, 5, 3, 7, 10, 6, 5, 2, 2, 4, 0 \)

Найдём значение числителя \( \sum X_i \cdot l_i \):

\[ \sum X_i \cdot l_i = (1.0 \cdot 4) + (2.0 \cdot 5) + (3.0 \cdot 3) + (4.0 \cdot 7) + (5.0 \cdot 10) + (6.0 \cdot 6) + (7.0 \cdot 5) + (8.0 \cdot 2) + (9.0 \cdot 2) + (10.0 \cdot 4) + (11.0 \cdot 0) = 4 + 10 + 9 + 28 + 50 + 36 + 35 + 16 + 18 + 40 = 246 \]

Теперь найдём знаменатель \( \sum l_i \):

\[ \sum l_i = 4 + 5 + 3 + 7 + 10 + 6 + 5 + 2 + 2 + 4 + 0 = 48 \]

Тогда среднее арифметическое:

\[ \overline{X} = \frac{246}{48} \approx 5.125 \]

2. Построим гистограмму и кривую

Гистограмма будет представлять собой столбцы, которые для каждого значения \( X_i \) будут иметь высоту, пропорциональную значению частоты \( l_i \). После постройки гистограммы можно будет нарисовать кривую распределения. На этом этапе также важно сделать вывод о характере распределения:

• Судя по частотам, максимальное значение частоты приходится на область вокруг 5.0. Это даёт основание предполагать, что распределение имеет форму, близкую к нормальному, однако возможна небольшая асимметрия. Для более точного вывода нужно будет проанализировать дальнейшие статистические характеристики.

3. Для нормального распределения вычислим дисперсию \( D \), стандартное отклонение \( \sigma \), а также среднюю ошибку среднего арифметического \( m \).

Дисперсия \( D \)

Дисперсия для выборки с частотами считается по формуле:

\[ D = \frac{\sum l_i \cdot (X_i - \overline{X})^2}{\sum l_i} \]

Вычислим отклонения каждого \( X_i \) от среднего значения \( \overline{X} \).

• \( X_1 = 1.0 \): \( (X_1 - \overline{X})^2 = (1.0 - 5.125)^2 = (-4.125)^2 = 17.015625 \)
• \( X_2 = 2.0 \): \( (X_2 - \overline{X})^2 = (2.0 - 5.125)^2 = (-3.125)^2 = 9.765625 \)
• \( X_3 = 3.0 \): \( (X_3 - \overline{X})^2 = (3.0 - 5.125)^2 = (-2.125)^2 = 4.515625 \)
• \( X_4 = 4.0 \): \( (X_4 - \overline{X})^2 = (4.0 - 5.125)^2 = (-1.125)^2 = 1.265625 \)
• \( X_5 = 5.0 \): \( (X_5 - \overline{X})^2 = (5.0 - 5.125)^2 = (-0.125)^2 = 0.015625 \)
• \( X_6 = 6.0 \): \( (X_6 - \overline{X})^2 = (6.0 - 5.125)^2 = (0.875)^2 = 0.765625 \)
• \( X_7 = 7.0 \): \( (X_7 - \overline{X})^2 = (7.0 - 5.125)^2 = (1.875)^2 = 3.515625 \)
• \( X_8 = 8.0 \): \( (X_8 - \overline{X})^2 = (8.0 - 5.125)^2 = (2.875)^2 = 8.265625 \)
• \( X_9 = 9.0 \): \( (X_9 - \overline{X})^2 = (9.0 - 5.125)^2 = (3.875)^2 = 15.015625 \)
• \( X_{10} = 10.0 \): \( (X_{10} - \overline{X})^2 = (10.0 - 5.125)^2 = (4.875)^2 = 23.765625 \)
• \( X_{11} = 11.0 \): \( (X_{11} - \overline{X})^2 = (11.0 - 5.125)^2 = (5.875)^2 = 34.515625 \)

Теперь рассчитаем дисперсию:

\[ D = \frac{(17.015625 \cdot 4) + (9.765625 \cdot 5) + (4.515625 \cdot 3) + (1.265625 \cdot 7) + (0.015625 \cdot 10) + (0.765625 \cdot 6) + (3.515625 \cdot 5) + (8.265625 \cdot 2) + (15.015625 \cdot 2) + (23.765625 \cdot 4)}{48} \]

\[ D \approx \frac{68.0625 + 48.828125 + 13.546875 + 8.859375 + 0.15625 + 4.59375 + 17.578125 + 16.53125 + 30.03125 + 95.0625}{48} \]

\[ D \approx \frac{303.249875}{48} \approx 6.3177 \]

Стандартное отклонение \( \sigma \)

Стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma = \sqrt{D} \approx \sqrt{6.3177} \approx 2.514 \]

Средняя ошибка среднего арифметического \( m \)

Средняя ошибка среднего арифметического рассчитывается по следующей формуле:

\[ m = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{2.514}{\sqrt{48}} \approx \frac{2.514}{6.928} \approx 0.363 \]

4. Запишите окончательный результат

• Среднее арифметическое \( \overline{X} \approx 5.125 \)
• Дисперсия \( D \approx 6.3177 \)
• Стандартное отклонение \( \sigma \approx 2.514 \)
• Средняя ошибка среднего арифметического \( m \approx 0.363 \)

Характер распределения: Гистограмма заметно указывает на наличие центрального максимума около 5—6 единиц, что указывает на близость распределения к нормальному с небольшой асимметрией.