Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Решение задачи используя формулу площади поверхности вращения графика функции
Условие:
Решение:
Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление" и под темой "Вычисление площади поверхности вращения".
Для решения задачи используем формулу площади поверхности вращения графика функции \( y = f(x) \) вокруг оси \( Ox \) на отрезке \([a, b]\): \[ S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \] В данном случае \( y = \sqrt{x} \) и интервал \( [0, 12] \). 1. Найдем производную функции \( y \): \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \] 2. Подставим \( y \) и \( \frac{dy}{dx} \) в формулу площади поверхности: \[ S = 2\pi \int_{0}^{12} \sqrt{x} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \right)^2} \, dx \] 3. Упростим подинтегральное выражение: - \[ S = 2\pi \int_{0}^{12} \sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{1}{4x}} \, dx \] - \[ S = 2\pi \int_{0}^{12} \sqrt{x} \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} \, dx \] - \[ S = 2\pi \int_{0}^{12} \sqrt{x} \cdot \sqrt{\frac{4x + 1}{4x}} \, dx \] - \[ S = 2\pi \int_{0}^{12} \sqrt{x} \cdot \frac{\sqrt{4x + 1}}{2\sqrt{x}} \, dx \] - \[ S = \pi \int_{0}^{12} \sqrt{4x + 1} \, dx \] 4. Сделаем замену переменной: \( u = 4x + 1 \), тогда \( du = 4dx \) или \( dx = \frac{du}{4} \). При \( x = 0 \), \( u = 1 \). При \( x = 12 \), \( u = 49 \). Перепишем интеграл: \[ S = \pi \int_{1}^{49} \sqrt{u} \cdot \frac{du}{4} \] - \[ S = \frac{\pi}{4} \int_{1}^{49} \sqrt{u} \, du \] 5. Применяем формулу интегрирования \( \int \sqrt{u} \, du = \frac{2}{3} u^{3/2} \): \[ S = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{49} \] - \[ S = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \left( 49^{3/2} - 1^{3/2} \right) \] 6. Вычислим значения: - \( 49^{3/2} = (7^2)^{3/2} = 7^3 = 343 \) - \( 1^{3/2} = 1 \) - \[ S = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} (343 - 1) = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot 342 \] - \[ S = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2 \cdot 342}{3} = \frac{\pi \cdot 684}{12} = \frac{684\pi}{12} = 57\pi \] Итак, \( S = 57\pi \). Соответственно, \( \alpha = 57 \). Ответ: \( 57 \).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку