Рассчитать общий средний стаж работы для рабочих по выборочным данным

Это задание относится к области статистики, раздел "Теория выборок и доверительные интервалы".

Шаг 1: Рассчитать общий средний стаж работы для рабочих по выборочным данным.

Имеем данные по двум группам работников:

• Мужчины (\(n_1 = 12\)) со средним стажем \(\bar{x}_1 = 14\) лет,
• Женщины (\(n_2 = 8\)) со средним стажем \(\bar{x}_2 = 11\) лет.

Общий средний стаж \(\bar{x}_{\text{общ}}\) рассчитывается по формуле взвешенного среднего:

\[\bar{x}_{\text{общ}} = \frac{n_1 \cdot \bar{x}_1 + n_2 \cdot \bar{x}_2}{n_1 + n_2}\]

Подставляем значения:

\[\bar{x}_{\text{общ}} = \frac{12 \cdot 14 + 8 \cdot 11}{12 + 8} = \frac{168 + 88}{20} = \frac{256}{20} = 12.8 \, \text{лет}.\]

Таким образом, общий средний стаж работы для всех рабочих составляет 12.8 лет.

Шаг 2: С вероятностью 0,954 определить доверительные пределы среднего стажа работы рабочих в генеральной совокупности.

Для определения доверительного интервала нам нужно использовать стандартное отклонение в выборке и построить интервал для выборочного среднего значения.

Доверительный интервал расчитается по следующей формуле:

\[\bar{x}_{\text{общ}} \pm t_{\alpha/2, \, v} \cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}\]

Где:

• \(\bar{x}_{\text{общ}} = 12.8\) — выборочное среднее,
• \(t_{\alpha/2, v}\) — критическое значение t-распределения Стьюдента для уровня доверия 95.4% и \(v\) степеней свободы (зависит от общего числа выборок),
• \(S_1^2 = 3^2 = 9\) и \(S_2^2 = 2^2 = 4\) — дисперсии мужчин и женщин соответственно,
• \(n_1 = 12\), \(n_2 = 8\) — количество мужчин и женщин,
• \(v = n_1 + n_2 - 2 = 12 + 8 - 2 = 18\) — степень свободы для t-распределения.

Для уровня доверия 95.4% (или \( \alpha = 1 - 0.954 = 0.046 \)) критическое значение t из таблицы для 18 степеней свободы примерно равно \( t_{\alpha/2, 18} \approx 2.11 \).

Теперь рассчитаем стандартную ошибку.

\[\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}} = \sqrt{\frac{9}{12} + \frac{4}{8}} = \sqrt{0.75 + 0.5} = \sqrt{1.25} \approx 1.12\]

Теперь строим доверительный интервал:

\[ 12.8 \pm 2.11 \cdot 1.12 \approx 12.8 \pm 2.36\]

Итак, доверительный интервал:

\[(12.8 - 2.36; 12.8 + 2.36) = (10.44; 15.16)\]

Таким образом, с вероятностью 95.4% средний стаж работы рабочих в генеральной совокупности находится в интервале от 10.44 до 15.16 лет.

Шаг 3: Рассмотреть, можно ли считать расхождения в значениях выборочной случайными.

Для этого нужно провести t-критерий для независимых выборок для проверки гипотезы о равенстве средних значений (сравниваем 14 лет для мужчин и 11 лет для женщин).

Шаги применения t-критерия Стьюдента:

1. Нулевая гипотеза \( H_0 \): Различия в средних значениях (14 и 11) случайны и незначимы.
2. Альтернативная гипотеза \( H_1 \): Различия в средних значениях значимы.

t-статистика рассчитывается по формуле:

\[ t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1} + \frac{S_2^2}{n_2}}} \]

Подставляем значения:

\[ t = \frac{14 - 11}{\sqrt{\frac{9}{12} + \frac{4}{8}}} = \frac{3}{\sqrt{0.75 + 0.5}} = \frac{3}{\sqrt{1.25}} = \frac{3}{1.12} \approx 2.68 \]

Теперь сравним полученное значение с критическим для уровня значимости \( \alpha = 0.05 \) и числа степеней свободы \( v = 18 \). Для этого уровня значимости критическое значение из таблицы \( t_{\alpha, 18} \approx 2.10 \).

Так как:

\[ t_{\text{расч}} = 2.68 > t_{\text{крит}} = 2.10, \]

Итоговый вывод:

1. Общий средний стаж работы составляет 12.8 лет.
2. Доверительный интервал для среднего стажа работы с вероятностью 95.4%: от 10.44 до 15.16 лет.
3. Различия в среднем стаже между мужчинами и женщинами статистически значимы (не случайны).

Мы отвергаем нулевую гипотезу. Это означает, что различия в стаже работы между мужчинами и женщинами статистически значимы и не случайны.