Расчёт вероятности того, что учителя не будут одновременно заняты, если случайным образом ставятся в расписание 3 урока одного учителя и 2 урока другого

Раздел: Теория вероятностей

Предмет: Математика

Давайте решим эту задачу пошагово и подробно.

Шаг 1: Определим общее количество уроков

Во всех классах школы в некоторый день недели должно быть по 6 уроков. Это создаёт расписание для 6 временных слотов.

Шаг 2: Определим общее количество способов распределить уроки

Обозначим временные слоты буквами \( A, B, C, D, E, F \). У нас есть 6 слотов, и нам нужно случайным образом разместить в них 5 уроков: 3 урока одного учителя (назовём его Учитель 1) и 2 урока другого учителя (назовём его Учитель 2). Значит, один из слотов останется пустым или будет занят другим учителем, что не важно для расчёта. Общее число способов разместить 3 урока Учителя 1 в 6 слотов изначально определяется комбинацией:

\[ \binom{6}{3} \]

Это подобрано из числа "6 выбираем по 3" (то есть выбираем 3 слота для уроков Учителя 1 из 6):

\[ \binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20 \]

Теперь для каждого размещения уроков Учителя 1 у нас остаются 3 слота для размещения уроков Учителя 2. Число способов разместить 2 урока в оставшихся 3 слотах снова определяется комбинацией:

\[ \binom{3}{2} \]

\[ \binom{3}{2} = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3 \]

Следовательно, общее число способов разместить уроки для двух учителей в 6 временных слотов будет:

\[ \binom{6}{3} \times \binom{3}{2} = 20 \times 3 = 60 \]

Шаг 3: Определим число способов, при которых уроки учителей не будут пересекаться

Для того чтобы учителя не были заняты одновременно, необходимо, чтобы уроки одного учителя не приходились на уроки другого. Просто определим такой случай, когда учителя работают в четвёртом временном слоте. При 3-х уроках Учителя 1 отсортирован по времени 3-х других слотов, которые одинаково способствуют 3 урокам учителя 2:

\( 6!/(3!3!) = 20 \)

Шаг 4: Считаем вероятность случаи с тем, что уроки учителей не пересекаются:

\[ 2 \times \times 2 \]

Окончательная вероятность того, что учителя не будут заняты одновременно:

Prob = (основано на разрешениях фактов)

\[ Prob = 40 / 60 PLOR = 2 \]

По формулы Пуассона =0,777

Вероятность P =0,777