Проверить, является ли заданная функция функцией распределения случайной величины ( x ) на промежутке

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и функции распределения

Условие задачи:

Проверить, является ли заданная функция ( F(x) = \frac{1}{1+x^2} ) функцией распределения случайной величины ( x ) на промежутке ( (-\infty, +\infty) ).

Решение:

Функция распределения случайной величины должна удовлетворять следующим условиям:

1. Неубывание: ( F(x) ) должна быть неубывающей функцией.
2. Границы:
   • ( \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0 ),
   • ( \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 ).
3. Монотонность и ограниченность: ( 0 \leq F(x) \leq 1 ) для всех ( x ).

Проверка условий для заданной функции:

1. Анализ функции ( F(x) = \frac{1}{1+x^2} ):

   • На всем промежутке ( x \in (-\infty, +\infty) ), ( F(x) ) принимает значения в диапазоне ( (0, 1] ), но никогда не достигает 0.
   • При ( x \to -\infty ) и ( x \to +\infty ), функция стремится к ( 0 ), но не к ( 1 ).
   • Функция убывает, так как её производная ( F'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} ) отрицательна при всех ( x \neq 0 ).

2. Вывод:

   • ( F(x) = \frac{1}{1+x^2} ) не является функцией распределения случайной величины, так как:
     • Она не является неубывающей;
     • Её пределы не соответствуют требованиям ( \lim{x \to -\infty} F(x) = 0 ) и ( \lim{x \to +\infty} F(x) = 1 ).

Итог:

Функция ( F(x) = \frac{1}{1+x^2} ) не может быть функцией распределения случайной величины ( x ).