Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию Пирсона при уровне значимости a = 0{,}05.

Предмет: Статистика
Раздел: Проверка гипотез, доверительные интервалы

Задача:

1. Проверить гипотезу о нормальном законе распределения по критерию Пирсона при уровне значимости a = 0{,}05.
2. Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения генеральной совокупности с надёжностью \gamma = 0{,}95.

Дано:

• Выборка из n = 70 значений (приведены в таблице).
• Уровень значимости \alpha = 0{,}05.
• Надёжность \gamma = 0{,}95.

1. Проверка гипотезы о нормальном распределении по критерию Пирсона (хи-квадрат)

Шаги:

1. Формулировка гипотез:

• H_0: выборка распределена нормально.
• H_1: выборка не распределена нормально.

2. Определение параметров нормального распределения:

• Вычисляем выборочное среднее \overline{x} и выборочную дисперсию S^2:

 \overline{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i, \quad S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2 

3. Интервальное разбиение:

• Разбиваем данные на k интервалов (обычно 6-10, чтобы ожидания были не меньше 5).
• Для каждого интервала вычисляем теоретическую вероятность попадания в него при нормальном распределении с параметрами \overline{x} и S.
• Умножаем вероятность на n — получаем ожидаемые частоты E_i.
• Подсчитываем наблюдаемые частоты O_i.

4. Вычисление статистики критерия Пирсона:

 \chi^2 = \sum_{i=1}^k \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} 

5. Определение критического значения:

• Степени свободы df = k - 1 - m, где m — число оценённых параметров (для нормального распределения m=2: среднее и дисперсия).
• По таблице распределения хи-квадрат при уровне значимости \alpha=0{,}05 находим критическое значение \chi^2_{\alpha, df}.

6. Принятие решения:

• Если \chi^2_\text{набл} \leq \chi^2_{\alpha, df}, то гипотеза H_0 принимается.
• Иначе — отвергается.

2. Доверительные интервалы для математического ожидания и стандартного отклонения

Доверительный интервал для математического ожидания \mu при неизвестной дисперсии:

 \overline{x} \pm t_{\alpha/2, n-1} \frac{S}{\sqrt{n}} 

где t_{\alpha/2, n-1} — квантиль распределения Стьюдента с n-1 степенями свободы.

Доверительный интервал для дисперсии \sigma^2:

 \left( \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}, \quad \frac{(n-1) S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}} \right) 

где \chi^2_{\alpha/2, n-1} и \chi^2_{1-\alpha/2, n-1} — квантили распределения хи-квадрат с n-1 степенями свободы.

Доверительный интервал для стандартного отклонения \sigma — это квадратные корни из границ интервала для дисперсии.

Практическое решение:

1. Вычисляем \overline{x} и S по данным.
2. Определяем интервалы для критерия Пирсона (например, по квантилям нормального распределения).
3. Считаем \chi^2 и сравниваем с критическим.
4. Находим доверительные интервалы по формулам выше.

Если нужно, могу сделать полный расчёт по вашим данным. Пожалуйста, подтвердите.