Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки из 100 значений при уровне значимости с использованием критерия Пирсона

Предмет: Математическая статистика
Раздел: Проверка гипотез, критерий согласия Пирсона (хи-квадрат)

Задача: Проверить гипотезу о нормальном распределении выборки из 100 значений при уровне значимости  \alpha = 1 - \gamma = 1 - 0{,}95 = 0{,}05  с использованием критерия Пирсона.

Шаги решения:

1. Данные:

• Выборка объема  n=100  (дано 100 значений)
• Известные параметры:
  • Среднее значение выборки  \bar{x}  (необходимо вычислить)
  • Стандартное отклонение  S = 7 
• Уровень доверия  \gamma = 0{,}95 , значит уровень значимости  \alpha = 0{,}05 

2. Вычислить эмпирическое среднее:

 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i 

(Суммируем все 100 значений и делим на 100)

3. Проверка гипотезы:

• Нулевая гипотеза  H_0 : данные нормально распределены с параметрами  \mu = \bar{x}, \sigma = S 
• Альтернативная гипотеза  H_1 : данные не нормальны

4. Разбиение данных на интервалы (k):

Для критерия Пирсона нужно разбить данные на k интервалов, обычно:

 k \approx \sqrt{n} \Rightarrow k \approx 10 

5. Вычисление границ интервалов:

Для нормального распределения с параметрами  \mu, \sigma  границы интервалов вычисляются через квантили:

 a_j = \mu + \sigma \cdot z_j, 

где  z_j  — квантиль нормального распределения.

6. Подсчет наблюдаемых частот  O_j  и ожидаемых частот  E_j :

•  O_j  — количество значений выборки в интервале  j 
•  E_j = n \cdot p_j , где  p_j  — вероятность попадания значения в интервал  j  при нормальном распределении с параметрами  \mu, \sigma 

7. Вычисление статистики критерия Пирсона:

 \chi^2 = \sum_{j=1}^{k} \frac{(O_j - E_j)^2}{E_j} 

8. Определение критического значения:

Критическое значение  \chi^2_{\alpha, \, k-1-m} , где

•  k  — число интервалов,
•  m  — число оцениваемых параметров распределения (для нормального — 2: среднее и дисперсия).

9. Принятие решения:

• Если  \chi^2 < \chi^2_{\alpha, \, k-1-m} , то гипотеза  H_0  принимается (распределение нормальное)
• Иначе — отвергается

Выполнение расчетов:

1. Вычислим среднее  \bar{x} :

Суммируем все 100 чисел из таблицы (для удобства это лучше сделать в программе, например Excel или Python).

2. Границы интервалов:

Пусть  k=10 , тогда границы интервалов для нормального распределения с  \mu = \bar{x}  и  \sigma = 7  можно взять, например, через квантили стандартного нормального распределения:

 z_0 = -\infty, \quad z_1 = -1.28, \quad z_2 = -0.84, \quad z_3 = -0.52, \quad z_4 = -0.25, \quad z_5 = 0, \quad z_6 = 0.25, \quad z_7 = 0.52, \quad z_8 = 0.84, \quad z_9 = 1.28, \quad z_{10} = \infty 

Границы интервалов:

 a_j = \bar{x} + 7 \cdot z_j 

3. Подсчёт частот  O_j  и вероятностей  p_j 

Вероятности  p_j = \Phi(z_j) - \Phi(z_{j-1}) , где  \Phi(z)  — функция распределения стандартного нормального.

4. Вычисление статистики  \chi^2 

5. Критическое значение:

При  \alpha=0.05 ,  k=10 ,  m=2 , степени свободы  df = k - 1 - m = 7 

Из таблицы критических значений хи-квадрат:

 \chi^2_{0.05, 7} = 14.07 

Итог:

• Если  \chi^2 < 14.07 , гипотеза принимается.
• Иначе — отвергается.

Если хотите, я могу помочь с вычислениями среднего и подсчетом частот, если вы предоставите данные в удобном формате (например, список чисел).