Построить модель зависимости и вычислить коэффициент детерминации

Предмет: Математика
Раздел: Статистика, регрессионный анализ

Дана задача исследования зависимости стоимости загородного дома от расстояния до центра. Необходимо построить модель зависимости и вычислить коэффициент детерминации.

Данные:

Шаг 1. Найдем параметры линейной регрессии вида:

y = a + bx

где a — свободный член, b — коэффициент наклона.

Шаг 2. Найдем средние значения \bar{x} и \bar{y}:

 \bar{x} = \frac{10 + 20 + 30 + 40 + 50}{5} = \frac{150}{5} = 30 

 \bar{y} = \frac{4 + 2 + 2 + 1 + 1}{5} = \frac{10}{5} = 2 

Шаг 3. Найдем коэффициент наклона b:

 b = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} 

Посчитаем числитель:

Сумма числителя:

 \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = -40 + 0 + 0 - 10 - 20 = -70 

Посчитаем знаменатель:

Сумма знаменателя:

 \sum (x_i - \bar{x})^2 = 400 + 100 + 0 + 100 + 400 = 1000 

Шаг 4. Вычислим b:

 b = \frac{-70}{1000} = -0.07 

Шаг 5. Найдем a по формуле:

 a = \bar{y} - b \bar{x} = 2 - (-0.07) \times 30 = 2 + 2.1 = 4.1 

Итоговое уравнение регрессии:

 \hat{y} = 4.1 - 0.07x 

Шаг 6. Посчитаем коэффициент детерминации R^2.

Для этого нужно вычислить:

• Общее отклонение (сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от среднего):

 SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2 

• Остаточную сумму квадратов (сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от предсказанных):

 SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2 

Посчитаем SS_{tot}:

Сумма:

 SS_{tot} = 4 + 0 + 0 + 1 + 1 = 6 

Посчитаем предсказанные значения \hat{y}_i:

Посчитаем SS_{res}:

Сумма:

 SS_{res} = 0.36 + 0.49 + 0 + 0.09 + 0.16 = 1.1 

Шаг 7. Вычислим коэффициент детерминации:

 R^2 = 1 - \frac{SS_{res}}{SS_{tot}} = 1 - \frac{1.1}{6} = 1 - 0.1833 = 0.8167 

Ответ:

• Уравнение регрессии:
   \hat{y} = 4.1 - 0.07x 

• Коэффициент детерминации:
   R^2 \approx 0.82 

Это означает, что около 82% вариации стоимости дома объясняется изменением расстояния до центра.

Если нужна дополнительная помощь — обращайтесь!