Построение ряда распределения для случайной величины

Данная задача относится к предмету теории вероятностей и математической статистики.

Задание состоит в построении ряда распределения для случайной величины \( X \) и нахождении её основных числовых характеристик.

Шаг 1: Построение ряда распределения для \( X \).

Мы имеем таблицу совместного распределения для случайных величин \( X \) и \( Y \). Для получения ряда распределения \( X \), нужно суммировать вероятности по столбцам.

1. Вероятность для \( X = -2 \): \[ P(X = -2) = 0,1 + 0,12 + 0 = 0,22 \]
2. Вероятность для \( X = 0 \): \[ P(X = 0) = 0 + 0,01 + 0,1 = 0,11 \]
3. Вероятность для \( X = 1 \): \[ P(X = 1) = 0,2 + 0,05 + 0 = 0,25 \]
4. Вероятность для \( X = 5 \): \[ P(X = 5) = 0,15 + 0,02 + 0,05 = 0,22 \]
5. Вероятность для \( X = 1 \) (в правом столбце): \[ P(X = 1) = 0,05 + 0,05 + 0,1 = 0,2 \]

Итак, ряд распределения для \( X \) будет следующим: \[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline -2 & 0,22 \\ 0 & 0,11 \\ 1 & 0,25 \\ 5 & 0,22 \\ 1 & 0,2 \\ \end{array} \]

Шаг 2: Основные числовые характеристики.

1. Математическое ожидание \( E(X) \): \[ E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) = -2 \cdot 0,22 + 0 \cdot 0,11 + 1 \cdot 0,25 + 5 \cdot 0,22 + 1 \cdot 0,2 \] \[ = -0,44 + 0 + 0,25 + 1,1 + 0,2 = 1,11 \]
2. Дисперсия \( \mathrm{Var}(X) \): \[ \mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 \] Сначала найдем \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x_i) = (-2)^2 \cdot 0,22 + 0^2 \cdot 0,11 + 1^2 \cdot 0,25 + 5^2 \cdot 0,22 + 1^2 \cdot 0,2 \] \[ = 4 \cdot 0,22 + 0 + 1 \cdot 0,25 + 25 \cdot 0,22 + 1 \cdot 0,2 \] \[ = 0,88 + 0 + 0,25 + 5,5 + 0,2 = 6,83 \] Теперь используем найденное значение: \[ \mathrm{Var}(X) = 6,83 - (1,11)^2 \] \[ = 6,83 - 1,2321 = 5,5979 \]
3. Среднеквадратичное отклонение \( \sigma(X) \): \[ \sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)} = \sqrt{5,5979} \approx 2,366 \]

Итак, основные числовые характеристики для случайной величины \( X \) следующие:

• Математическое ожидание (среднее значение) \( E(X) = 1,11 \)
• Дисперсия \( \mathrm{Var}(X) = 5,5979 \)
• Среднеквадратичное отклонение \( \sigma(X) \approx 2,366 \)