Построение доверительных интервалов для нормального распределения с неизвестной дисперсией

Шаг 1: Определение темы и раздела предмета

Этот вопрос относится к разделу "Статистика", конкретно к теме "Построение доверительных интервалов для нормального распределения с неизвестной дисперсией".

Шаг 2: Задание и его параметры

Условие выглядит следующим образом:

• \(\bar{x} = 5\) — выборочное среднее
• \(t_\gamma = 1.7\) — критическое значение t-распределения с заданным уровнем значимости
• \(n = 25\) — размер выборки
• \(\bar{x}^2 = 49\) — выборочная дисперсия

Нам необходимо найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией \(\sigma^2\).

Шаг 3: Нахождение стандартного отклонения выборки

Выборочная дисперсия \(\bar{x}^2\) уже дана:

\[ s^2 = \bar{x}^2 = 49 \]

Соответственно, выборочное стандартное отклонение \(s\):

\[ s = \sqrt{49} = 7 \]

Шаг 4: Вычисление стандартной ошибки среднего

Стандартная ошибка среднего (Standard Error, SE) определяется как:

\[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} \]

Подставляем значения:

\[ SE = \frac{7}{\sqrt{25}} = \frac{7}{5} = 1.4 \]

Шаг 5: Построение доверительного интервала

Доверительный интервал для математического ожидания \( \mu \) формируется по формуле:

\[ \bar{x} \pm t_{\gamma} \cdot SE \]

Подставляем все известные значения:

\[ 5 \pm 1.7 \cdot 1.4 \]

Вычислим крайние значения интервала:

\[ 1.7 \cdot 1.4 = 2.38 \]

Шаг 6: Конечные границы доверительного интервала

\[ 5 - 2.38 = 2.62 \]

\[ 5 + 2.38 = 7.38 \]

Заключение

Таким образом, доверительный интервал для неизвестного математического ожидания нормального распределения с неизвестной дисперсией составляет:

\[ (2.62, 7.38) \]